このページは、数研出版：数学Ⅲ[708]
第６章 積分法の応用
第６章 積分法の応用
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
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数研出版数学Ⅲ 第１章 関数
数研出版数学Ⅲ 第２章 極限
数研出版数学Ⅲ 第３章 微分法
数研出版数学Ⅲ 第４章 微分法の応用
数研出版数学Ⅲ 第５章 積分法
数研出版数学Ⅲ 第６章 積分法の応用
第６章 積分法の応用
p.184 練習1$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~2$$
p.185 練習2$${\small (1)}~\frac{\,5\,}{\,12\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}-\log_{}3$$
p.186 問1$$~~~\frac{\,9\,}{\,2\,}$$
p.186 練習3$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}(e^2-3)$$$${\small (2)}~\frac{\,9\,}{\,2\,}$$
p.187 練習4\({\small (1)}~\)[証明] 曲線上の任意の点 \((a~,~b)\) に対して、$$~~~b^2=a^2(1-a^2)$$ここで、\(x\) 軸に関して対称な点 \((a~,~-b)\) に対しても、$$~~~b^2=a^2(1-a^2)$$となり曲線上にある
したがって、この曲線は \(x\) 軸に関して対称である
また、\(y\) 軸に関して対称な点 \((-a~,~b)\) に対しても、$$~~~b^2=a^2(1-a^2)$$となり曲線上にある
したがって、この曲線は \(y\) 軸に関して対称である [終]$${\small (2)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$
したがって、この曲線は \(x\) 軸に関して対称である
また、\(y\) 軸に関して対称な点 \((-a~,~b)\) に対しても、$$~~~b^2=a^2(1-a^2)$$となり曲線上にある
したがって、この曲線は \(y\) 軸に関して対称である [終]$${\small (2)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$
p.188 練習5$$~~~6\pi$$
p.190 練習6$$~~~V=\int_{0}^{h}\frac{\,x^2\,}{\,h^\,}S\,dx=\frac{\,1\,}{\,3\,}Sh$$
p.191 練習7$$~~~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,16\,}\pi$$
p.193 練習8$${\small (1)}~\frac{\,16\,}{\,15\,}\pi$$$${\small (2)}~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}(e^2-4e+5)$$
p.193 練習9$$~~~\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi ab^2$$
p.193 問2$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\left( e^2-\frac{\,1\,}{\,e^2\,} \right)$$
p.193 練習10$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,5\,}$$
p.194 練習11$${\small (1)}~\frac{\,32\,}{\,5\,}\pi$$$${\small (2)}~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}(e^2+1)$$
p.195 練習12$$~~~\frac{\,8\,}{\,15\,}\pi$$
p.196 研究 練習1$$~~~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,4\,}\pi ^2$$
p.198 練習13$$~~~6$$
p.199 練習14$$~~~\frac{\,56\,}{\,27\,}$$
p.201 練習15 位置の変化量 \(0\)
道のり \(2\)
道のり \(2\)
p.202 練習16$$~~~\frac{\,4\,}{\,3\,}$$
演習問題
p.204 演習問題Ａ 1\({\small (1)}~\)[証明] \(y\) について整理して、$$~~~y^2-2xy+2x^2-4=0$$解の公式より、$$\begin{eqnarray}~~~y&=&x\pm\sqrt{(-x)^2-(2x^2-4)}\\[2pt]~~~&=&x\pm\sqrt{4-x^2}\end{eqnarray}$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明] この面積 \(S\) は、$$\small \begin{eqnarray}~~~S&=&\int_{-2}^{2} \{ x+\sqrt{4-x^2}-(x-\sqrt{4-x^2}) \}dx\\[2pt]~~~&=&\int_{-2}^{2} 2\sqrt{4-x^2}\, dx\\[2pt]~~~&=&4\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}\, dx\end{eqnarray}$$ここで、原点中心半径 \(2\) の円の四分割した面積が、$$~~~\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}\, dx$$より、曲線によって囲まれた部分の面積は、半径 \(2\) の円の面積に等しい [終]
\({\small (2)}~\)[証明] この面積 \(S\) は、$$\small \begin{eqnarray}~~~S&=&\int_{-2}^{2} \{ x+\sqrt{4-x^2}-(x-\sqrt{4-x^2}) \}dx\\[2pt]~~~&=&\int_{-2}^{2} 2\sqrt{4-x^2}\, dx\\[2pt]~~~&=&4\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}\, dx\end{eqnarray}$$ここで、原点中心半径 \(2\) の円の四分割した面積が、$$~~~\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}\, dx$$より、曲線によって囲まれた部分の面積は、半径 \(2\) の円の面積に等しい [終]
p.208 発展 練習1\(A\) を任意の定数として、$${\small (1)}~y=Ax$$$${\small (2)}~y=Ae^{x^2}$$
p.208 発展 練習2$${\small (1)}~x^2-y^2=-3$$$${\small (2)}~y=\frac{\,1\,}{\,16\,}(x^2+3)^2$$
