【新課程】数研出版：数学Ｃ[708]

p.84 練習1

p.85 練習2$$~~~b=-4~,~c=3$$

p.86 問1\({\small (1)}~\)実軸方向に \(2\)、虚軸方向に \(-3\) 平行移動
\({\small (2)}~\)実軸方向に \(-2\)、虚軸方向に \(3\) 平行移動
\({\small (3)}~\)実軸方向に \(4\)、虚軸方向に \(-6\) 平行移動
\({\small (4)}~\)実軸方向に \(2\)、虚軸方向に \(-3\) 平行移動したあとに、原点に関して対称移動

p.86 練習3

p.87 練習4[証明] \(\alpha=a+bi\) とすると、共役複素数は \(\overline {\alpha}=a-bi\)
これらの和は、$$\begin{eqnarray}~~~\alpha+\overline {\alpha}&=&(a+bi)+(a-bi)\\[2pt]~~~&=&2a\end{eqnarray}$$これより実部 \(a\) は、$$~~~a=\frac{\,\alpha+\overline {\alpha}\,}{\,2\,}$$
差は、$$\begin{eqnarray}~~~\alpha-\overline {\alpha}&=&(a+bi)+(a-bi)\\[2pt]~~~&=&2bi\end{eqnarray}$$これより虚部 \(b\) は、$$~~~b=\frac{\,\alpha-\overline {\alpha}\,}{\,2i\,}$$[終]

p.87 問2[証明] \(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、$$~~~\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~\overline {\alpha-\beta}&=&(a-c)-(b-d)i\\[2pt]~~~&=&(a-bi)-(c-di)\\[2pt]~~~&=&\overline {\alpha}-\overline {\beta}\end{eqnarray}$$[終]

p.88 問3[証明] \(x=\alpha\) が解であるので、$$~~~a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0$$これより、共役複素数は、$$\begin{eqnarray}~~~\overline {a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d}&=&\overline {0}\\[2pt]~~~\overline {a\alpha^3}+\overline {b\alpha^2}+\overline {c\alpha}+\overline {d}&=&0\\[2pt]~~~a(\overline {\alpha})^3+b(\overline {\alpha})^2+c\overline {\alpha}+d&=&0\end{eqnarray}$$したがって、\(\overline {\alpha}\) もこの方程式の解となる [終]

p.89 練習5　\(\sqrt{13}\) と \(4\)

p.89 問4[証明] \(\alpha=a+bi\) とすると、$$~~~|\alpha|=\sqrt{a^2+b^2}$$$$\begin{eqnarray}~~~|-\alpha|&=&\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}\\[2pt]~~~&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}~~~|\overline {\alpha}|&=&\sqrt{a^2+(-b)^2}\\[2pt]~~~&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~|\alpha|=|-\alpha|=|\overline {\alpha}|$$[終]

p.89 練習6$$~~~\sqrt{13}$$

p.91 問5$$~~~2\left( \cos{\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}+i\sin{\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi} \right)$$

p.91 練習7$${\small (1)}~\sqrt{2}\left( \cos{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}}+i\sin{\frac{\,\pi\,}{\,4\,}} \right)$$$${\small (2)}~\sqrt{2}\left( \cos{\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi}+i\sin{\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi} \right)$$$${\small (3)}~4\left( \cos{\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi}+i\sin{\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi} \right)$$$${\small (4)}~\cos{0}+i\sin{0}$$$${\small (5)}~\cos{\pi}+i\sin{\pi}$$$${\small (6)}~\cos{\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi}+i\sin{\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi}$$

p.91 問6$$~~~-z=r\{\cos{(\theta+\pi)}+i\sin{(\theta+\pi)}\}$$$$~~~-\overline {z}=r\{\cos{(\pi-\theta)}+i\sin{(\pi-\theta)}\}$$

p.93 練習8$$~~~\alpha\beta=4\sqrt{2}\left( \cos{\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi}+i\sin{\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi} \right)$$$$~~~\frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\sqrt{2}\left( \cos{\frac{\,\pi\,}{\,12\,}}+i\sin{\frac{\,\pi\,}{\,12\,}} \right)$$

p.93 練習9$${\small (1)}~6$$$${\small (2)}~8$$$${\small (3)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,3\,}{\,4\,}$$

p.93 問7[証明] \(1=\cos{0}+i\sin{0}\) より、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\frac{\,1\,}{\,r\,}\{ \cos{(0-\theta)}+i\sin{(0-\theta)} \}
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,r\,}\{ \cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)} \}
\end{eqnarray}$$[終]

p.95 練習10\({\small (1)}~\)点 \(z\) を原点を中心に \({\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}\) だけ回転した点
\({\small (2)}~\)点 \(z\) を原点を中心に \({\large \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\) 倍した点
\({\small (3)}~\)点 \(z\) を原点を中心に \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\pi\) だけ回転した点

p.95 問8点 \(z\) を原点を中心に \(-{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\) だけ回転した点

p.95 問9$$\small~~~z_1z_2=\sqrt{2}\left\{\cos{\left(-\frac{\,\pi\,}{\,12\,} \right)}+i\sin{\left(-\frac{\,\pi\,}{\,12\,} \right)} \right\}$$$$\small~~~\frac{\,z_2\,}{\,z_1\,}=\sqrt{2}\left( \cos{\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi}+i\sin{\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi} \right)$$

p.96 練習11$$~~~1+3i~,~-3+i$$

p.98 問10$$~~~\frac{\,1\,}{\,8\,}i$$

p.98 練習12$${\small (1)}~64$$$${\small (2)}~-4-4i$$$${\small (3)}~i$$

p.99 問11[証明] $$\begin{eqnarray}~~~z^4&=&1
\\[2pt]~~~z^4-1&=&0
\\[2pt]~~~(z^2+1)(z^2-1)&=&0
\end{eqnarray}$$これより、$$~~~z=\pm 1~,~ \pm i$$よって、$$~~~z_0=\cos{0}+i\sin{0}$$$$~~~z_1=\cos{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}+i\sin{\frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$$$$~~~z_2=\cos{\pi}+i\sin{\pi}$$$$~~~z_3=\cos{\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi}+i\sin{\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi}$$したがって、\(1\) の４乗根を表す点は、点 \(1\) が分点の１つとなるように、単位円を４等分した各分点である [終]

p.100 練習13$$~~~\pm1~,~\pm i$$$$~~~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i$$$$~~~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i$$

p.101 練習14$${\small (1)}~z=\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,2\,}i~,~-i$$$${\small (2)}~z=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i$$$$~~~~~,~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i$$$${\small (3)}~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}i$$

p.101 問12[証明] \(\omega _k~~~(k=0~,~1~,~2~,~\cdots ~,~n-1)\) はすべて異なるので、\(z_0\omega_k\) もすべて異なる
ここで、$$~~~(z_0\omega_k)^n=(z_0)^n(\omega_k)^n=(z_0)^n=\alpha$$これより、\(z_0\omega_k\) は \(\alpha\) の \(n\) 乗根
したがって、\(\alpha\) の \(n\) 乗根は、\(n\) 個の複素数 \(z_0\omega_k~~~(k=0~,~1~,~2~,~\cdots ~,~n-1)\) である [終]

p.102 練習15$${\small (1)}~-1$$$${\small (2)}~1$$

p.103 練習16\({\small (1)}~\)
　内分点 \(4-2i\)、外分点 \(16+10i\)
\({\small (2)}~\)
　内分点 \(2i\)、外分点 \(-12+14i\)

p.103 問13頂点を \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) とすると、線分 \({\rm BC}\) の中点は、$$~~~\frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}$$また、重心 \(\delta\) は線分 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、$$~~~\delta=\frac{\,\alpha+2\frac{\,\beta+\gamma\,}{\,2\,}\,}{\,2+1\,}=\frac{\,\alpha+\beta+\gamma\,}{\,3\,}$$[終]

p.104 練習17\({\small (1)}~\)原点が中心で半径 \(2\) の円
\({\small (2)}~\)点 \(i\) が中心で半径 \(1\) の円
\({\small (3)}~\)点 \(1+i\) が中心で半径 \(2\) の円

p.104 練習18\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

p.105 練習19\({\small (1)}~\)点 \(-3\) が中心で半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)原点が中点で半径 \(2\) の円

p.106 練習20点 \(1\) が中心で半径 \(1\) の円

p.107 練習21$${\small (1)}~2+4i$$$${\small (2)}~\frac{\,4\sqrt{3}-1\,}{\,2\,}+\frac{\,3\sqrt{3}-2\,}{\,2\,}i$$

p.108 練習22$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$$

p.109 練習23$${\small (1)}~c=\frac{\,2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~c=-1~,~2$$

p.110 練習24$$~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}=\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$$

p.111 研究 練習1点 \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) が中心で半径 \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) の円

p.112 問題 4$$~~~\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}i$$$$~~~\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}-\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i~,~-\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}+\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i$$

p.112 問題 9[証明] ３点を \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) とすると、点 \({\rm A~,~B}\) からそれぞれ下ろした垂線の交点を \({\rm H}\) とすると、$$~~~{\rm BC\perp HA~,~CA\perp HB}$$よって、\({\large \frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}}\) は純虚数であるので、$$\begin{eqnarray}~~~\overline {\left(\frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\right)}&=&-\frac{\,\alpha\,}{\,\gamma-\beta\,}\\[3pt]~~~\overline {\alpha}(\gamma-\beta)&=&-\alpha(\overline {\gamma}-\overline {\beta})\\[2pt]~~~\overline {\alpha}\gamma-\overline {\alpha}\beta&=&-\alpha\overline {\gamma}+\alpha\overline {\beta}~~~\cdots{\large ①}\end{eqnarray}$$また、\({\large \frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}}\) も純虚数であるので、$$\begin{eqnarray}~~~\overline {\left(\frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\right)}&=&-\frac{\,\beta\,}{\,\alpha-\gamma\,}\\[3pt]~~~\overline {\beta}(\alpha-\gamma)&=&-\beta(\overline {\alpha}-\overline {\gamma})\\[2pt]~~~\overline {\beta}\alpha-\overline {\beta}\gamma&=&-\beta\overline {\alpha}+\beta\overline {\gamma}~~~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①と②の両辺を加えると、$$\begin{eqnarray}~~~(\overline {\alpha}-\overline {\beta})\gamma&=&-\overline {\gamma}(\alpha-\beta)\\[3pt]~~~\overline {\left(\frac{\,\gamma\,}{\,\beta-\alpha\,}\right)}&=&-\frac{\,\gamma\,}{\,\beta-\alpha\,}\end{eqnarray}$$これより、\({\rm AB\perp HC}\)
したがって、３つの垂線は１点で交わる [終]

p.113 演習問題Ａ 3[証明] 仮定より、$$~~~\left| \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,} \right|=\left| \frac{\,\gamma’-\alpha’\,}{\,\beta’-\alpha’\,} \right |$$よって、$$~~~|\beta-\alpha|:|\beta’-\alpha’|=|\gamma-\alpha|:|\gamma’-\alpha’|$$これより、$$~~~{\rm AB:A’B’=AC:A’C’}$$また、仮定より、$$~~~\arg{\frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}}=\arg{\frac{\,\gamma’-\alpha’\,}{\,\beta’-\alpha’\,}}$$これより、$$~~~\angle{\rm BAC}=\angle{\rm B’A’C’}$$以上より、$$~~~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}$$[終]

p.113 演習問題Ｂ 4\({\small (2)}~\)[証明] \({\small (1)}\) より、$$~~~1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$$両辺を \(\alpha^2\) で割ると、$$~~~\frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}+\frac{\,1\,}{\,\alpha\,}+1+\alpha+\alpha^2=0$$ここで、\(t=\alpha+{\large \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}}\) より、$$\begin{eqnarray}~~~t^2&=&\alpha^2+2+\frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\\[3pt]~~~t^2-2&=&\alpha^2+\frac{\,1\,}{\,\alpha^2\,}\end{eqnarray}$$代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~t^2-2+1+t&=&0\\[2pt]~~~t^2+t-1&=&0\end{eqnarray}$$[終]