数学A｜図形の性質

チェバの定理の逆を使って、三角形の3本の中線が1点で交わることと、3つの内角の二等分線が1点で交わることを証明する方法を解説。辺の比の条件式を立てて各辺をかけ合わせ、定理の逆を適用する手順を図と式付きで詳しく説明しています。

三角形の外部にある点とチェバの定理を使って、線分の比を求める方法を解説。辺を外分する点を頂点から一周するルートで定理の式を立て、外分の比に注意しながら辺の比を代入して計算する手順を、図と途中式付きで詳しく説明しています。

チェバの定理とメネラウスの定理、三角形と平行線の関係を使って、線分の交点から引いた直線が辺の中点を通ることを証明する方法を解説。平行線の比とチェバの定理を組み合わせ、式を約分して中点であることを導く手順を図と式付きで説明しています。

チェバの定理とメネラウスの定理を使って線分の比を求め、その比から三角形の面積比を導く方法を解説。内分点や中点を含む図で、定理の式を立てて辺の比を代入し、高さの比から面積比を求める手順を図と途中式付きで説明しています。

メネラウスの定理を使って、三角形の辺の比から線分の比を求める方法を解説。外分点や中点を含む図で、頂点から一周するルートで定理の式を立て、辺の比を代入して計算する手順を、図と途中式付きで詳しく説明しています。

チェバの定理を使って、三角形の辺の比から線分の比を求める方法を解説。内分点を通って三角形を一周するルートで式を立て、辺の比を代入して計算する手順を、図と途中式付きで詳しく説明しています。

三角形の垂心の位置を、直角三角形の場合と、垂心が内心や外心と一致する場合に分けて解説。直角三角形では垂心が直角の頂点に来ることを示し、垂心と内心、垂心と外心が一致する三角形が正三角形になる理由を、三角形の合同を使って図とともに証明します。

重心と外心、重心と内心がそれぞれ一致する三角形が正三角形になることの証明を解説。中線と垂直二等分線が重なる場合、中線と角の二等分線が重なる場合に分け、2辺が等しくなることを示してから、同様の議論で3辺が等しくなり正三角形になる理由を図とともに説明します。

三角形の重心が中線を2対1に内分することを使い、重心がつくる三角形の面積比を求める方法を解説。底辺が共通のときや高さが等しいときの面積の比の考え方から、三角形BAGと三角形BGM、三角形ABCと三角形GBCの面積比を、図とともにわかりやすく説明します。

三角形の傍心が、1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線の交点であることを解説。傍心から各辺やその延長に下ろした垂線の長さが等しいことを直角三角形の合同から示し、点Iが角Aの内角の二等分線上にある理由を、図とともにわかりやすく証明します。

三角形の内心を通る直線と辺の比を、内角の二等分線と辺の関係を2回使って求める方法を解説。まず内心を通る直線が頂角を二等分することからBDを求め、次に三角形ABDで角の二等分線の関係を使い、AIとIDの比を計算の手順とともに図でわかりやすく説明します。

三角形の内心と角度の関係を、内角の二等分線と三角形の内角の和を使って求める方法を解説。内心が3辺から等距離にあり内接円の中心となることもふまえ、角IBCと角BICの大きさを計算の手順とともに図でわかりやすく説明します。

三角形の外心が三角形のどこに位置するかを、鋭角・直角・鈍角の場合に分けて解説。外心が3辺の垂直二等分線の交点であることを使い、内部・辺の中点・外部となる理由を、直角三角形では斜辺が外接円の直径になることもあわせて図でわかりやすく説明します。

三角形の外心と角度の関係を、円周角の定理と二等辺三角形の性質から求める方法を解説。外心が外接円の中心であることを使い、中心角BOCと底角OBCの大きさを、計算の手順とともに図でわかりやすく説明します。

三角形の角の二等分線と比の関係を使って、内角と外角それぞれの二等分線が辺やその延長と交わる点の位置を求める方法を解説。辺の比から内分点や外分点までの長さを、計算の手順とともに図でわかりやすく説明します。