累乗の計算と公式
「指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算」
■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、
\({\small (1)}~\)\(a\) の \(m\) 乗と \(a\) の \(n\) 乗の積は、
\(a^m{\, \small \times \,} a^n=a^{m+n}\)
※ \(a\) が \(m\) 個と \(n\) 個あり、合計 \(m+n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (2)}~\)\(a\) の \(m\) 乗の \(n\) 乗は、
\((a^m)^n=a^{mn}\)
※ \(a\) が \(m\) 個掛け算されているものが \(n\) 個あり、合計 \(m {\, \small \times \,} n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (3)}~\)\(ab\) の \(n\) 乗は、
\((ab)^n=a^nb^n\)
※ \(a\) が \(n\) 個、\(b\) が \(n\) 個それぞれ掛け算。
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単項式同士の積 \(3a^2b{\, \small \times \,}(-2ab)^3\) の計算は、
① ( )の累乗を先に計算する。
\(\begin{split}&3a^2b{\, \small \times \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-2)^3{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)
② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。
\(\begin{split}~~=~&3{\, \small \times \,}(-8){\, \small \times \,} a^2{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)
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問題解説：累乗の計算
問題解説(1)
③の公式より、$$~~~~~~(-3x^2y)^3$$$$~=(-3)^3\times (x^2)^3 \times (y)^3$$\( (x^2)^3 \) は②の公式より、\( (x^2)^3=x^6 \)となるので、$$~=-27\times x^6 \times y^3$$$$~=-27x^6y^3$$よって、答えは \( -27x^6y^3 \) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~4a^2b^3 \times 3ab^2$$$$~=4 \times a^2 \times b^3 \times 3 \times a \times b^2$$$$~=4 \times 3 \times a^2 \times a \times b^3 \times b^2$$①の公式より、$$~=12 \times a^{2+1} \times b^{3+2}$$$$~=12a^3b^5$$よって、答えは \( 12a^3b^5 \) となります。
問題解説(3)
③の公式より、$$~~~~~~(3xy)^3\times (-2xy^2)^2$$$$~=3^3 \times x^3 \times y^3 \times (-2)^2 \times x^2 \times (y^2)^2$$$$~=27 \times x^3 \times y^3 \times 4 \times x^2 \times y^4$$$$~=27 \times 4 \times x^3 \times x^2 \times y^3 \times y^4$$$$~=108 \times x^{3+2} \times y^{3+4}$$$$~=108x^5y^7$$よって、答えは \(108x^5y^7\) となります。
今回のまとめ
累乗の公式と計算を細かく解説していきました。累乗の計算は間違えやすい２つの公式の区別をしっかりとつけておきましょう！
