今回の問題は「２次式の因数分解」です。
数研出版 数学Ⅰ p.17~18 練習14~15
数研出版 高等学校数学Ⅰ p.16~17 練習16~19
数研出版 新編数学Ⅰ p.17~18 練習17~20
東京書籍 Advanced数学Ⅰ p.14~15 問20~23
東京書籍 Standard数学Ⅰ p.19~20 問15~16
問題次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy\)
\({\small (2)}~4x^2-4x+1\)
\({\small (3)}~3x^2-12\)
\({\small (4)}~x^2+8x-20\)
\({\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy\)
\({\small (2)}~4x^2-4x+1\)
\({\small (3)}~3x^2-12\)
\({\small (4)}~x^2+8x-20\)
Point：共通因数単項式の和を多項式や単項式の積とすることを因数分解という。
因数分解の公式を使う前に、各項を調べて共通因数がないかを確認する。
\(3x^3y^2-6x^2y\) では、
\(3x^2y\) が共通因数となるので、
\(\begin{split}&3x^3y^2-6x^2y
\\[2pt]~~=~&3x^2y\cdot xy+3x^2y\cdot (-2)
\\[2pt]~~=~&3x^2y(xy-2)
\end{split}\)
\((a-b)x+(b-a)y\) では、
\(a-b\) を共通因数とするために、
\(b-a=-(a-b)\)とすると、
\(\begin{split}&(a-b)x+(b-a)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)x-(a-b)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)(x-y)
\end{split}\)
因数分解の公式を使う前に、各項を調べて共通因数がないかを確認する。
\(3x^3y^2-6x^2y\) では、
\(3x^2y\) が共通因数となるので、
\(\begin{split}&3x^3y^2-6x^2y
\\[2pt]~~=~&3x^2y\cdot xy+3x^2y\cdot (-2)
\\[2pt]~~=~&3x^2y(xy-2)
\end{split}\)
\((a-b)x+(b-a)y\) では、
\(a-b\) を共通因数とするために、
\(b-a=-(a-b)\)とすると、
\(\begin{split}&(a-b)x+(b-a)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)x-(a-b)y
\\[2pt]~~=~&(a-b)(x-y)
\end{split}\)
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Point：因数分解の公式
\(\begin{split}&x^2+10x+25
\\[2pt]~~=~&x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2=(x+5)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2\) より、
\(\begin{split}&4x^2-12xy+9y^2
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot (-3y)+(-3y)^2
\\[2pt]~~=~&(2x-3y)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2-b^2=(ax+b)(ax-b)\) より、
\(\begin{split}&9x^2-25
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)
\end{split}\)
■ \(x^2+(a+b)x+ab\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) より、
\(\begin{split}&x^2-x-2
\\[2pt]~~=~&x^2+(-2+1)x+(-2)\cdot 1
\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+1)
\end{split}\)
■ \(x^2+2ax+a^2\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) より、
\(\begin{split}&x^2+10x+25
\\[2pt]~~=~&x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2=(x+5)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2\) より、
\(\begin{split}&4x^2-12xy+9y^2
\\[2pt]~~=~&(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot (-3y)+(-3y)^2
\\[2pt]~~=~&(2x-3y)^2
\end{split}\)
■ \(a^2x^2-b^2\) タイプの因数分解
公式 \(a^2x^2-b^2=(ax+b)(ax-b)\) より、
\(\begin{split}&9x^2-25
\\[2pt]~~=~&(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)
\end{split}\)
■ \(x^2+(a+b)x+ab\) タイプの因数分解
公式 \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) より、
\(\begin{split}&x^2-x-2
\\[2pt]~~=~&x^2+(-2+1)x+(-2)\cdot 1
\\[2pt]~~=~&(x-2)(x+1)
\end{split}\)
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