３次式の因数分解

Point：３次式の因数分解■ \(a^3+b^3\) タイプの因数分解
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて因数分解する。

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　\(x^3+8\) では、
　\(a=x~,~b=2\) で対応するので、

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\(\begin{split}&x^3+8
\\[2pt]~~=~&x^3+2^3
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-x\cdot 2+2^2)
\\[2pt]~~=~&(x+2)(x^2-2x+4)
\end{split}\)

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　\(27x^3-1\) では、
　\(a=3x~,~b=-1\) で対応するので、

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\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3+(-1)^3
\\[2pt]~~=~&\{3x+(-1)\}\{(3x)^2-3x(-1)+(-1)^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)

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　公式 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を
　用いると、

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\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&(3x)^3-1^3
\\[2pt]~~=~&(3x-1)\{(3x)^2+3x\cdot 1+1^2\}
\\[2pt]~~=~&(3x-1)(9x^2+3x+1)
\end{split}\)

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問題次の式を因数分解せよ。

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\({\small (1)}~8x^3+1\)

公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて \(a=2x~,~b=1\) で対応するので、

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\(\begin{split}&8x^3+1
\\[2pt]~~=~&(2x)^3+1^3
\\[2pt]~~=~&(2x+1)\{(2x)^2-2x\cdot 1+1^2\}
\\[2pt]~~=~&(2x+1)(4x^2-2x+1)
\end{split}\)

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よって、答えは \( (2x+1)(4x^2-2x+1) \)

問題次の式を因数分解せよ。

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\({\small (2)}~x^3-27y^3\)

公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて \(a=x~,~b=-3y\) で対応するので、

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\(\begin{split}&x^3-27y^3
\\[2pt]~~=~&x^3+(-3y)^3
\\[2pt]~~=~&\{x+(-3y)\}\{x^2-x\cdot (-3y)+(-3y)^2\}
\\[2pt]~~=~&(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)
\end{split}\)

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よって、答えは \( (x-3y)(x^2+3xy+9y^2) \)

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【別解】
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) の公式を用いると、

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\(\begin{split}&27x^3-1
\\[2pt]~~=~&x^3-(3y)^3
\\[2pt]~~=~&(x-3y)\{x^2+x\cdot 3y+(3y)^2\}
\\[2pt]~~=~&(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)
\end{split}\)

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よって、答えは \( (x-3y)(x^2+3xy+9y^2) \)

問題次の式を因数分解せよ。

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\({\small (3)}~3x^3-24\)

共通因数 \( 3 \) でくくると、

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\(\begin{split}&3x^3-24
\\[2pt]~~=~&3(x^3-8)
\end{split}\)

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公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて \(a=x~,~b=-2\) で対応するので、

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\(\begin{split}&3(x^3-8)
\\[2pt]~~=~&3\{x^3+(-2)^3\}
\\[2pt]~~=~&3\{x+(-2)\}\{x^2-x\cdot (-2)+(-2)^2\}
\\[2pt]~~=~&3(x-2)(x^2+2x+4)
\end{split}\)

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よって、答えは \( 3(x-2)(x^2+2x+4) \)