今回の問題は「分母の有理化」です。
問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$$${\small (2)}~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$$${\small (3)}~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$
Point：平方根の分母の有理化■ 分母が単項式の有理化
分母の平方根の値と同じ値 \(\sqrt{b}\) を、分母分子に掛け算して分母を有理化する。
\({\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}{\, \small \times \,}{\Large \frac{\,\sqrt{b}\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\sqrt{b}\,}{\,b\,}}\)
■ 分母が多項式の有理化
① 分母の多項式の和→差(差→和)に変えた式を、分母分子に掛け算する。
② 分母を( )² ー ( )² を用いて展開する。
\(\begin{split}&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}{\, \small \times \,}{ \frac{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a(\sqrt{b}-\sqrt{c})\,}{\,b-c\,}}\end{split}\)
分母の平方根の値と同じ値 \(\sqrt{b}\) を、分母分子に掛け算して分母を有理化する。
\({\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}{\, \small \times \,}{\Large \frac{\,\sqrt{b}\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\sqrt{b}\,}{\,b\,}}\)
■ 分母が多項式の有理化
① 分母の多項式の和→差(差→和)に変えた式を、分母分子に掛け算する。
② 分母を( )² ー ( )² を用いて展開する。
\(\begin{split}&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}{\, \small \times \,}{ \frac{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a(\sqrt{b}-\sqrt{c})\,}{\,b-c\,}}\end{split}\)
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