数学Ⅰ｜二重根号の式の外し方と計算のコツ

二重根号

2018.04.062024.02.18

今回の問題は「二重根号」です。

問題次の式を二重根号のない式で表せ。

${\small (1)}~\sqrt{6-\sqrt{20}}$

${\small (2)}~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$

${\small (3)}~\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Point：二重根号の外し方ルートの中にルートを含む二重根号は、
① 与えられた式を次の形に式変形する。

$\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}$

　(※ 内側のルートの係数を $2$ にする。)
② $a+b~,~ab$ となる２つの数 $a~,~b$ を見つけて、次のように式変形する。(ただし、 $a> b$ )

$\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$

■ 中のルートの係数を $2$ にできない場合

$\sqrt{\,3+\sqrt{5}\,}$ では、

① 内側のルートの係数が $2$ にできないので、分母分子に $\sqrt{2}$ を掛ける。

$\begin{split} ~~~~~~\frac{\,\sqrt{\,3+\sqrt{5}\,}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,1{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{5}\,}\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}$

② 分子を二重根号の外し方で計算する。

$\begin{split} ~~~=\frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{5{\, \small \times \,} 1}\,}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{5}+1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}$

③ 分母を有理化してさらに計算する。

$\begin{split} ~~~=\frac{\,(\sqrt{5}+1){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{10}+\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}$

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