条件の否定①（かつ・または）

2018.04.222024.02.18

Point：かつ・またはの否定■ 条件の否定
条件の否定は、その条件を集合としたときの補集合となる。

例えば、実数 \(x\) において、
　条件 \(x=0\) の否定は、\(x\neq 0\)
　条件 \(x≧1\) の否定は、\(x< 1\)

■ かつ・またはの否定
ド・モルガンの法則を用いて、

\({\small (1)}~\)２つの条件がともに成り立つの否定

\(p\) かつ \(q\) の否定は、\(\overline {\,p\,}\) または \(\overline {\,q\,}\)

\({\small (2)}~\)２つの条件の少なくとも一方が成り立つの否定

\(p\) または \(q\) の否定は、\(\overline {\,p\,}\) かつ \(\overline {\,q\,}\)

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問題解説：条件の否定①（かつ・または）

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (1)}~n\) は有理数である

実数 \(n\) について、
「\(n\) が有理数」の否定は、実数のベン図が次のようになることより、

「\(n\) が有理数でない」すなわち
「\(n\) が無理数」となります。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (2)}~x=3\)

\(x=3\) の否定は、
\(x=3\) 以外のすべての実数となるので答えは \(x\neq3\) となります。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (3)}~-1≦x<2\)

\(-1≦x<2\) の範囲は数直線で次のようになります。

\(-1≦x<2\) の否定は、\(-1≦x<2\) 以外のすべての実数となるので、数直線では次のようになります。

よって、答えは \(x<-1~,~2≦x\) となります。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (4)}~x>0\) かつ \(y≦0\)

\(x>0\) の否定は、\(x≦0\)
\(y≦0\) の否定は、\(y>0\)
よって、\(x>0\) かつ \(y≦0\) の否定は、
\(x≦0\) または \(y>0\) となります。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (5)}~x≧0\) または \(y>-2\)

\(x≧0\) の否定は、\(x<0\)
\(y>-2\) の否定は、\(y≦-2\)
よって、\(x≧0\) または \(y>-2\) の否定は、
\(x<0\) かつ \(y≦-2\) となります。

条件の否定は、全体の集合を考え元の条件以外のすべてと考えましょう。また、「かつ」と「または」の否定の答え方も覚えておきましょう。