二項定理の利用した証明
この式において、\(x\) の値に様々な数値を代入するといろいろな等式が得られます。
問題解説：二項定理の利用
問題解説(1)
[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1+1)^n=2^n$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot 1+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot 1^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot 1^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$[終]
問題解説(2)
[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=-1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1-1)^n=0$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot (-1)$$$$\hspace{45pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot (-1)^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot (-1)^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$[終]
今回のまとめ
二項定理を用いた等式の証明は、\((1+x)^n\) の展開式を利用し\(x\) の値に様々な数値を代入することで証明できます。特に今回の問題は２つともよく出題されるのでそのまま覚えておきましょう。
