分母や分子に分数式を含む式

分母や分子に分数式を含む式の解法

問題解説：分母や分子に分数式を含む式

問題解説(1)

・解法パターン１
通分を用いて計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$分母分子の分数式をそれぞれ通分して計算すると、$$~=\frac{{\Large \frac{x}{x}}+{\Large \frac{1}{x}}}{{\Large \frac{x^2}{x}}-{\Large \frac{1}{x}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x+1}{x}}}{{\Large \frac{x^2-1}{x}}}$$この式を割り算にすると、$$~=\frac{x+1}{x}\div \frac{x^2-1}{x}$$かけ算にすると、逆数になるので、$$~=\frac{x+1}{x}\times \frac{x}{x^2-1}$$分母を因数分解すると、$$~=\frac{x+1}{x}\times \frac{x}{(x-1)(x+1)}$$\(x~,~(x+1)\) を共通因数として約分すると、$$~=\frac{1}{x-1}$$
よって、答えは \({\Large \frac{1}{x-1}}\) となります。
 
・解法パターン２
分母分子に値をかける方法で計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$分母分子に \(x\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\Large \frac{1}{x}}\right) \times x}{\left(x-{\Large \frac{1}{x}}\right) \times x}$$$$~=\frac{x+1}{x^2-1}$$分母を因数分解すると、$$~=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$$\((x+1)\) を共通因数として約分すると、$$~=\frac{1}{x-1}$$
よって、答えは \({\Large \frac{1}{x-1}}\) となります。

問題解説(2)

・解法パターン１
通分を用いて計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$分母分子の分数式をそれぞれ通分して計算すると、$$~=\frac{{\Large \frac{x-y}{x-y}}+{\Large \frac{y}{x-y}}}{{\Large \frac{x-y}{x-y}}-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x-y+y}{x-y}}}{{\Large \frac{x-y-x}{x-y}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x}{x-y}}}{{\Large \frac{-y}{x-y}}}$$この式を割り算にすると、$$~=\frac{x}{x-y}\div \left(- \frac{y}{x-y} \right)$$かけ算にすると、逆数になるので、$$~=\frac{x}{x-y}\times \left(- \frac{x-y}{y} \right)$$\(x-y\) を共通因数として約分すると、$$~=-\frac{x}{y}$$
よって、答えは \({\Large -\frac{x}{y}}\) となります。
 
・解法パターン２
分母分子に値をかける方法で計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$分母分子に \(x-y\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\Large \frac{y}{x-y}}\right) \times (x-y)}{\left(1-{\Large \frac{x}{x-y}}\right) \times (x-y)}$$\(x-y\) を分配して展開すると、$$~=\frac{1\cdot (x-y)+{\Large \frac{y}{x-y}}\cdot (x-y)}{1\cdot (x-y)-{\Large \frac{x}{x-y}}\cdot (x-y)}$$$$~=\frac{(x-y)+y}{(x-y)-x}$$$$~=\frac{x}{-y}$$$$~=-\frac{x}{y}$$
よって、答えは \({\Large -\frac{x}{y}}\) となります。

今回のまとめ

繁分数式はどちらの解法でも計算が複雑になります。計算ミスをしないように丁寧に計算していきましょう。

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