共役な複素数と式の値の解法
このとき、\(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いた対称式が問題として出題されます。基本対称式は次のようになります。
問題解説：共役な複素数と式の値
問題解説(1)
\(\alpha=3+i\) について、共役な複素数 \(\overline {\alpha} \) は次のようになります。$$~~~\overline {\alpha}=3-i$$よって、$$~~~~~~\alpha+\overline {\alpha}$$$$~=(3+i)+(3-i)$$$$~=3+i+3-i$$$$~=6$$よって、答えは \(6\) となります。
問題解説(2)
\(\alpha=3+i~,~\overline {\alpha}=3-i\) より、$$~~~~~~\alpha-\overline {\alpha}$$$$~=(3+i)-(3-i)$$$$~=3+i-3+i$$$$~=2i$$よって、答えは \(2i\) となります。
問題解説(3)
\(\alpha=3+i~,~\overline {\alpha}=3-i\) より、$$~~~~~~\alpha\cdot \overline {\alpha}$$$$~=(3+i)(3-i)$$ここで、\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、$$~=3^2-i^2$$\(i^2=-1\) と置き換えると、$$~=9-(-1)$$$$~=9+1$$$$~=10$$よって、答えは \(10\) となります。
問題解説(4)
$$~~~~~~\alpha^2+\overline {\alpha}^2$$対称式 \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) より、$$~=(\alpha+\overline {\alpha})^2-2\alpha\cdot \overline {\alpha}$$(1)と(3)の答えより、
\(~~~\alpha+\overline {\alpha}=6~,~\alpha\cdot \overline {\alpha}=10\)
これらを代入すると、$$~=6^2-2\cdot10$$$$~=36-20$$$$~=16$$よって、答えは \(16\) となります。
今回のまとめ
共役な複素数を求めるのは簡単ですが、対称式を用いた計算も覚えておきましょう。また、\(i^2=-1\) と置き換えることを忘れないようにしましょう。
