三角関数の等式の証明の方法
分母分子に符号を変えた \(1-\sin{\theta}\) をかけると、例えば、$$~~~~~~\frac{1}{1+\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1}{1+\sin{\theta}}\times\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}}$$$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin^2{\theta}}$$ここで、\(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\) より、\(1-\sin^2{\theta}=\cos^2{\theta}\) を用いると、$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}$$この式変形を使います。
また、
\(1-\sin{\theta}\) のときは、\(1+\sin{\theta}\)
\(1+\cos{\theta}\) のときは、\(1-\cos{\theta}\)
\(1+\cos{\theta}\) のときは、\(1+\cos{\theta}\)
これらのときも、同様の式変形をします。
② \(\tan{\theta}\) がある場合$$~~~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$これを用いて、\(\sin{\theta}\) \(,\) \(\cos{\theta}\) の式にします。
③ \(1+2\sin{\theta}\cos{\theta}\) がある場合$$~~~~~~(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2$$$$~=\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}$$$$~=\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}$$$$~=1+2\sin{\theta}\cos{\theta}$$この式を用いて、$$~~~1+2\sin{\theta}\cos{\theta}=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2$$と式変形します。
問題解説：三角関数の等式の証明
問題解説(1)
[証明]
(左辺)$$~=\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}$$左側の項の分母分子に \(1-\sin{\theta}\) をかけると、$$~=\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}\times\frac{1-\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}}+\tan{\theta}$$$$~=\frac{\cos{\theta}(1-\sin{\theta})}{1-\sin^2{\theta}}+\tan{\theta}$$\(1-\sin^2{\theta}=\cos^2{\theta}\) より、$$~=\frac{\cos{\theta}(1-\sin{\theta})}{\cos^2{\theta}}+\tan{\theta}$$ここで、\(\cos{\theta}\) が約分されて、\(\tan{\theta}={\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) を用いると、$$~=\frac{1-\sin{\theta}}{\cos{\theta}}+\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$~=\frac{1-\sin{\theta}+\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$~=\frac{1}{\cos{\theta}}$$
よって、左辺＝右辺となるので、$$~~~\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}$$が成り立ちます。[終]
問題解説(2)
[証明]
(左辺)$$~=\frac{\sin^2{\theta}-\cos^2{\theta}}{1+2\sin{\theta}\cos{\theta}}$$\(1+2\sin{\theta}\cos{\theta}=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2\) より、$$~=\frac{\sin^2{\theta}-\cos^2{\theta}}{(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2}$$分子を因数分解して約分すると、$$~=\frac{(\sin{\theta}+\cos{\theta})(\sin{\theta}-\cos{\theta})}{(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2}$$$$~=\frac{\sin{\theta}-\cos{\theta}}{\sin{\theta}+\cos{\theta}}$$
(右辺)$$~=\frac{\tan{\theta}-1}{\tan{\theta}+1}$$\(\tan{\theta}={\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) を用いると、$$~=\frac{{\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}-1}{{\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}+1}$$分母分子に \(\cos{\theta}\) をかけると、$$~=\frac{\left( {\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}-1\right)\times \cos{\theta}}{\left( {\Large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}+1\right)\times \cos{\theta}}$$$$~=\frac{\sin{\theta}-\cos{\theta}}{\sin{\theta}+\cos{\theta}}$$
よって、左辺＝右辺となるので、$$~~~\frac{\sin^2{\theta}-\cos^2{\theta}}{1+2\sin{\theta}\cos{\theta}}=\frac{\tan{\theta}-1}{\tan{\theta}+1}$$が成り立ちます。[終]
今回のまとめ
三角関数の等式の証明は、問題の式の形によって用いる式変形のパターンを選択できるようになりましょう。
