三角関数のグラフ⑤（式変形）

三角関数のグラフの式変形

 

問題解説：三角関数のグラフ⑤（式変形）

問題解説(1)

$$\hspace{ 10 pt}y=\sin{\left( \frac{1}{2}\theta-\frac{\pi}{6} \right)}$$ ${\Large \frac{1}{2}}$ でくくると、 $$\hspace{ 10 pt}y=\sin\frac{1}{2}{\left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)}$$ よって、この関数のグラフは、$y=\sin{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $2$ 倍して、$\theta$ 軸方向に $+{\Large \frac{\pi}{3}}$ 平行移動したグラフとなります。

① 通る点などを書き込んでいきます。
$y=\sin{\theta}$ での $\theta$ 軸上の点や $y=\pm1$ となる点は、

$$~~~-\frac{\pi}{2}~,~0~,~\frac{\pi}{2}~,~\pi~,~\frac{3}{2}\pi~,~2\pi~,~\cdots$$ となりますが、それぞれ $2$ 倍の位置となるので、 $$~~~-\pi~,~0~,~\pi~,~2\pi~,~3\pi~,~4\pi~,~\cdots$$ となります。
さらに $\theta$ 軸方向に $+{\Large \frac{\pi}{3}}$ 平行移動するので、 $$~~~-\frac{2}{3}\pi~,~\frac{\pi}{3}~,~\frac{4}{3}\pi~,~\frac{7}{3}\pi~,~\frac{10}{3}\pi~,~\frac{13}{3}\pi~,~\cdots$$ となります。

② 点を曲線で結びます。また、点の座標や、$y=\pm1$ の線を書き込みます。

また、周期も$2$ 倍となるので、 $4\pi$ となります。

 

問題解説(2)

$$\hspace{ 10 pt} y=\cos{(2\theta+\pi)}$$ $2$ でくくると、 $$\hspace{ 10 pt} y=\cos{2\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$$ よって、この関数のグラフは、$y=\cos{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に ${\Large \frac{1}{2}}$ 倍して、$\theta$ 軸方向に $-{\Large \frac{\pi}{2}}$ 平行移動したグラフとなります。
① 通る点などを書き込んでいきます。
$y=\cos{\theta}$ での $\theta$ 軸上の点や $y=\pm1$ となる点は、 $$~~~-\frac{\pi}{2}~,~0~,~\frac{\pi}{2}~,~\pi~,~\frac{3}{2}\pi~,~2\pi~,~\cdots$$ となりますが、それぞれ ${\Large \frac{1}{2}}$ 倍の位置となるので、 $$~~~-\frac{\pi}{4}~,~0~,~\frac{\pi}{4}~,~\frac{\pi}{2}~,~\frac{3}{4}\pi~,~\pi~,~\cdots$$ これらの点を書き込みます。
さらに $\theta$ 軸方向に $-{\Large \frac{\pi}{2}}$ 平行移動するので、 $$~~~-\frac{3}{4}\pi~,~-\frac{\pi}{2}~,~-\frac{\pi}{4}~,~0~,~\frac{\pi}{4}~,~\frac{3}{4}\pi~,~\cdots$$ となります。

② 点を曲線で結びます。また、点の座標や、$y=\pm1$ の線を書き込みます。

また、周期も${\Large \frac{1}{2}}$ 倍となるので、 $\pi$ となります。

 

今回のまとめ

式変形が必要な三角関数のグラフは、まず $\theta$ の係数が $1$ となるようにくくって式変形を覚えておきましょう。また、グラフを描くときは先に通る点を書き込んでいきましょう。

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