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三角関数を含む方程式②(範囲変化)

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今回の問題は「三角関数を含む方程式②(範囲変化)」です。

問題次の方程式を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

 

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範囲が変化する三角関数

Point:範囲が変化する三角関数三角関数の角の部分が、$$~~~\theta+\frac{\pi}{4}$$などとなっているときは、元の \(\theta\) の範囲 \(0≦\theta<2\pi\) を用いて、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$となります。 したがって、単位円上では
\({\Large \frac{\pi}{4}}\) から一周した範囲で考えます。

 

問題解説:三角関数を含む方程式②(範囲変化)

問題解説(1)

問題次の方程式を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{2}$$

\(\theta+\frac{\pi}{4}\) の範囲は、\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$この範囲で \(y\) 座標が \({\Large \frac{1}{2}}\) となればよいので、\(y={\Large \frac{1}{2}}\) と単位円より、
このとき、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) は範囲外となり、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が5個分と13個分となるので、$$~~~\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi~,~\frac{13}{6}\pi$$よって、$$\hspace{ 10 pt}\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{5}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{10-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{7}{12}\pi$$また、$$\hspace{ 10 pt}\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{13}{6}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{13}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{26-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{23}{12}\pi$$したがって、答えは$$~~~\theta=\frac{7}{12}\pi~,~\frac{23}{12}\pi$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (2)}~\cos{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

\(\theta-\frac{\pi}{4}\) の範囲は、\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~-\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$この範囲で \(x\) 座標が \({\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) となればよいので、\(x={\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) と単位円より、
したがって、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が−1個分と1個分となるので、$$~~~\theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}~,~\frac{\pi}{6}$$よって、$$\hspace{ 10 pt}\theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{-2+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{\pi}{12}$$また、$$\hspace{ 10 pt}\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{2+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{5}{12}\pi$$したがって、答えは$$~~~\theta=\frac{\pi}{12}~,~\frac{5}{12}\pi$$となります。

 

今回のまとめ

範囲変化のある三角関数の方程式は、その変化した範囲を単位円上で確認して、その範囲内で条件に合う角を求めましょう。

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