範囲が変化する三角関数
\({\Large \frac{\pi}{4}}\) から一周した範囲で考えます。
問題解説：三角関数を含む方程式②（範囲変化）
問題解説(1)
\(\theta+\frac{\pi}{4}\) の範囲は、\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$この範囲で \(y\) 座標が \({\Large \frac{1}{2}}\) となればよいので、\(y={\Large \frac{1}{2}}\) と単位円より、
このとき、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) は範囲外となり、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が５個分と13個分となるので、$$~~~\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi~,~\frac{13}{6}\pi$$よって、$$\hspace{ 10 pt}\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5}{6}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{5}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{10-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{7}{12}\pi$$また、$$\hspace{ 10 pt}\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{13}{6}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{13}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{26-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{23}{12}\pi$$したがって、答えは$$~~~\theta=\frac{7}{12}\pi~,~\frac{23}{12}\pi$$となります。
問題解説(2)
\(\theta-\frac{\pi}{4}\) の範囲は、\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~-\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$この範囲で \(x\) 座標が \({\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) となればよいので、\(x={\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) と単位円より、
したがって、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が−１個分と１個分となるので、$$~~~\theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}~,~\frac{\pi}{6}$$よって、$$\hspace{ 10 pt}\theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{-2+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{\pi}{12}$$また、$$\hspace{ 10 pt}\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{2+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\theta=\frac{5}{12}\pi$$したがって、答えは$$~~~\theta=\frac{\pi}{12}~,~\frac{5}{12}\pi$$となります。
今回のまとめ
範囲変化のある三角関数の方程式は、その変化した範囲を単位円上で確認して、その範囲内で条件に合う角を求めましょう。
