三角関数を含む不等式②（範囲変化）

範囲が変化する三角関数
問題解説：三角関数を含む不等式②（範囲変化）
今回のまとめ

範囲が変化する三角関数

Point：範囲が変化する三角関数三角関数の角の部分が、$$~~~\theta+\frac{\pi}{4}$$などとなっているときは、元の $\theta$ の範囲 $0≦\theta<2\pi$ を用いて、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$となります。したがって、単位円上では

${\large \frac{\pi}{4}}$ から一周した範囲で考えます。

問題解説：三角関数を含む不等式②（範囲変化）

問題解説(1)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、$0≦\theta<2\pi$ とする。$${\small (1)}~\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}≧\frac{1}{2}$$

$0≦\theta<2\pi$ であることより、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$この範囲で、直線 $y={\large \frac{1}{2}}$ と単位円との交点は、
${\large \frac{\pi}{6}}$ が5個分と13個分となるので、$$~~~\frac{5}{6}\pi~,~\frac{13}{6}\pi$$したがって、単位円上で直線 $y={\large \frac{1}{2}}$ より上の範囲となるので、

範囲に注意して、解を求めると$$~~~\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}≦\frac{5}{6}\pi~\cdots{\large ①} \\ \frac{13}{6}\pi≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}~\cdots{\large ②} \end{eqnarray}$$①より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}≦\frac{5}{6}\pi$$$$\hspace{ 10 pt} \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}≦\theta≦\frac{5}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 36 pt}0≦\theta≦\frac{10-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 36 pt}0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi$$また、②より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{13}{6}\pi≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt} \frac{13}{6}\pi-\frac{\pi}{4}≦\theta<2\pi+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 15 pt}\frac{26-3}{12}\pi≦\theta<2\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\frac{23}{12}\pi≦\theta<2\pi$$よって、答えは、$$~~~ 0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi~,~ \frac{23}{12}\pi≦\theta<2\pi$$となります。

問題解説(2)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、$0≦\theta<2\pi$ とする。$${\small (2)}~\cos{\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}>\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0≦\theta<2\pi$ であることより、$$~~~-\frac{\pi}{3}≦\theta-\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}$$この範囲で、直線 $x={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$ と単位円との交点は、
${\large \frac{\pi}{4}}$ が −１個分と１個分となるので、$$~~~-\frac{\pi}{4}~,~\frac{\pi}{4}$$したがって、単位円上で直線 $x={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$ より右の範囲となるので、

範囲に注意して、解を求めると$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}<\theta-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{4}$$これを計算すると、$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{10 pt}\frac{-3+4}{12}\pi<\theta<\frac{3+4}{12}\pi$$$$\hspace{ 35 pt}\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7}{12}\pi$$よって、答えは$$~~~\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7}{12}\pi$$となります。

問題解説(3)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、$0≦\theta<2\pi$ とする。$${\small (3)}~\tan{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}≦\sqrt{3}$$

$0≦\theta<2\pi$ であることより、$$~~~-\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$この範囲で、直線 $y=\sqrt{3}x$ と単位円との交点は、
${\large \frac{\pi}{6}}$ が2個分と8個分となるので、$$~~~\frac{2}{6}\pi=\frac{\pi}{3}~,~\frac{8}{6}\pi=\frac{4}{3}\pi$$したがって、単位円上で直線 $y=\sqrt{3}x$ より傾きが小さくなる範囲を考えると、第２象限と第４象限も含めて、

範囲に注意して、解を求めると$$~~~ \begin{eqnarray} -\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{\pi}{3}~\cdots{\large ①} \\ \frac{\pi}{2}<\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{4}{3}\pi~\cdots{\large ②} \\ \frac{3}{2}\pi<\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}~\cdots{\large ③} \end{eqnarray}$$①より、$$\hspace{ 20 pt} -\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}≦\theta≦\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 43 pt}0≦\theta≦\frac{4+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 43 pt}0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi$$また、②より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{\pi}{2}<\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{4}{3}\pi$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}<\theta≦\frac{4}{3}\pi+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{2+1}{4}\pi<\theta≦\frac{16+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 28 pt}\frac{3}{4}\pi<\theta≦\frac{19}{12}\pi$$また、③より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{3}{2}\pi<\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{4}<\theta<2\pi$$$$\hspace{ 14 pt}\frac{6+1}{4}\pi<\theta<2\pi$$$$\hspace{ 30 pt}\frac{7}{4}\pi<\theta<2\pi$$よって、答えは、$$~~~ 0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi~,~ \frac{3}{4}\pi<\theta≦\frac{19}{12}\pi$$$$~~~\frac{7}{4}\pi<\theta<2\pi$$となります。