加法定理と式の値
| \(\sin{}\) | \(\cos{}\) | |
| \(\alpha\) | ||
| \(\beta\) |
不明な三角関数の値は、相互関係の公式を用いて求めましょう。このとき、\(\alpha~,~\beta\) の角の範囲に注意して正負の値を確認しましょう。
正弦の加法定理
余弦の加法定理
正接の加法定理
問題解説：加法定理と式の値
問題解説(1)
問題文より、三角関数の値を表にまとめると、
| \(\sin{}\) | \(\cos{}\) | |
| \(\alpha\) | \(-{\Large \frac{3}{5}}\) | |
| \(\beta\) | \({\Large \frac{1}{3}}\) |
角 \(\alpha\) について、相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、\(\alpha\) は第３象限の角より、\(\cos{\alpha}<0\) となります。 よって、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$ 次に、角 \(\beta\) について、相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\beta}=1-\cos^2{\beta}$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\frac{1}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{9-1}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{8}{9}$$ここで、\(\beta\) は第４象限の角より、\(\sin{\beta}<0\) となります。 よって、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}$$$$\hspace{ 32 pt}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$以上より、表が完成します。
| \(\sin{}\) | \(\cos{}\) | |
| \(\alpha\) | \(-{\Large \frac{3}{5}}\) | \(-{\Large \frac{4}{5}}\) |
| \(\beta\) | \(-{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}\) | \({\Large \frac{1}{3}}\) |
よって、加法定理より、$$~~~~~~\sin{(\alpha+\beta)}$$$$~=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$$$~=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$$$~=-\frac{3}{15}+\frac{8\sqrt{2}}{15}$$$$~=\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$$よって、答えは$$~~~\sin{(\alpha+\beta)}=\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$$となります。
問題解説(2)
問題(1)より、表は次のようになります。
| \(\sin{}\) | \(\cos{}\) | |
| \(\alpha\) | \(-{\Large \frac{3}{5}}\) | \(-{\Large \frac{4}{5}}\) |
| \(\beta\) | \(-{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}\) | \({\Large \frac{1}{3}}\) |
加法定理を用いると、$$~~~~~~\cos{(\alpha-\beta)}$$$$~=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$$$~=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{1}{3}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$$$~=-\frac{4}{15}+\frac{6\sqrt{2}}{15}$$$$~=\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$$よって、答えは$$~~~\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$$となります。
今回のまとめ
加法定理を用いて三角関数の値を求めるときは、\(\alpha\) と \(\beta\) の値が混合しないように表まとめて計算していきましょう。
