２倍角の公式

2018.07.222020.06.09

２倍角の公式
問題解説：２倍角の公式
今回のまとめ

２倍角の公式

Point：２倍角の公式

$$~{\small (1)}~\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}~~$$$$~{\small (2)}~\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}~~$$$$\hspace{ 47 pt}=2\cos^2{\alpha}-1~~$$$$\hspace{ 47 pt}=1-2\sin^2{\alpha}~~$$$$~{\small (3)}~\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}~~$$

これらの公式は、加法定理の公式を $\beta\to\alpha$ とするとこにより導き出せます。
また、公式を使うときは先に相互関係の公式より、$\sin{\alpha}$$~,~$$\cos{\alpha}$$~,~$$\tan{\alpha}$ の値を求めておきましょう。

問題解説：２倍角の公式

問題解説(1)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{2\alpha}$$

相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、$\alpha$ は第２象限の角より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$また、$\tan{\alpha}$ は、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{{\large \frac{3}{5}}}{-{\large \frac{4}{5}}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{3}{5}\div\left(-\frac{4}{5}\right)$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{3}{5}\times\frac{5}{4}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{3}{4}$$よって、２倍角の公式より、$$~~~~~~\sin{2\alpha}$$$$~=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$値を代入すると、$$~=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)$$$$~=-\frac{24}{25}$$よって、答えは$$~~~\sin{2\alpha}=-\frac{24}{25}$$となります。

問題解説(2)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (2)}~\cos{2\alpha}$$

２倍角の公式より、$$~~~~~~\cos{2\alpha}$$$$~=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$$値を代入すると、$$~=\left(-\frac{4}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$~=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}$$$$~=\frac{7}{25}$$よって、答えは$$~~~\cos{2\alpha}=\frac{7}{25}$$となります。

問題解説(3)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (3)}~\tan{2\alpha}$$

２倍角の公式より、$$~~~~~~\tan{2\alpha}$$$$~=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$$値を代入すると、$$~=\frac{2\cdot\left(-{\large \frac{3}{4}}\right)}{1-\left(-{\large \frac{3}{4}}\right)^2}$$$$~=\frac{-{\large \frac{3}{2}}}{1-{\large \frac{9}{16}}}$$分母分子に $16$ をかけると、$$~=\frac{-{\large \frac{3}{2}}\cdot16}{\left(1-{\large \frac{9}{16}}\right)\cdot16}$$$$~=\frac{-3\cdot8}{16-9}$$$$~=\frac{-24}{7}$$$$~=-\frac{24}{7}$$よって、答えは$$~~~\tan{2\alpha}=-\frac{24}{7}$$となります。

【別解】
相互関係の公式より、$$~~~~~~\tan{2\alpha}$$$$~=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$$$$~=\frac{-{\large \frac{24}{25}}}{{\large \frac{7}{25}}}$$分母分子に $25$ をかけると、$$~=\frac{-{\large \frac{24}{25}}\cdot25}{{\large \frac{7}{25}}\cdot25}$$$$~=\frac{-24}{7}$$$$~=-\frac{24}{7}$$よって、答えは$$~~~\tan{2\alpha}=-\frac{24}{7}$$となります。