半角の公式

2018.07.222020.06.09

半角の公式
問題解説：半角の公式
今回のまとめ

半角の公式

Point：半角の公式

$$~{\small (1)}~\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}~~$$$$~{\small (2)}~\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}~~$$$$~{\small (3)}~\tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}~~$$

公式は $\cos{}$ の２倍角の公式より導き出せます。
半角の公式を使うときは、先に $\cos{\alpha}$ を求めておきましょう。
また、公式はそれぞれ２乗の値となっているので、$\sin{{\Large \frac{\alpha}{2}}}$ の値を求めるときは平方をとるのを忘れてないようにしましょう。

問題解説：半角の公式

問題解説(1)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{\frac{\alpha}{2}}$$

相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、$\alpha$ は第２象限の角より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$半角の公式より、$$~~~~~~\sin^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}$$$$~=\frac{1-\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{2}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{4}{5}}}{2}$$分母分子に $5$ をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{2\cdot5}$$$$~=\frac{5+4}{10}$$$$~=\frac{9}{10}$$ここで、$\alpha$ の範囲より、$$~~~\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、$\sin{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}$$$$\hspace{ 38 pt}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$よって、答えは$$~~~\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$となります。

問題解説(2)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (2)}~\cos{\frac{\alpha}{2}}$$

半角の公式より、$$~~~~~~\cos^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}$$$$~=\frac{1+\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{2}$$$$~=\frac{1-{\large \frac{4}{5}}}{2}$$分母分子に $5$ をかけると、$$~=\frac{\left(1-{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{2\cdot5}$$$$~=\frac{5-4}{10}$$$$~=\frac{1}{10}$$ここで、$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、$\cos{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}$$$$\hspace{ 38 pt}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$よって、答えは$$~~~\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$となります。

問題解説(3)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (3)}~\tan{\frac{\alpha}{2}}$$

半角の公式より、$$~~~~~~\tan{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$$$$~=\frac{1-\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{1+\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{4}{5}}}{1-{\large \frac{4}{5}}}$$分母分子に $5$ をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{\left(1-{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}$$$$~=\frac{5+4}{5-4}$$$$~=\frac{9}{1}$$$$~=9$$ここで、$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、$\tan{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{9}$$$$\hspace{ 39 pt}=3$$よって、答えは$$~~~\tan{\frac{\alpha}{2}}=3$$となります。