楕円の軌跡

2020.09.29

楕円と軌跡の解法
問題解説：楕円と軌跡
今回のまとめ

楕円と軌跡の解法

Point：楕円と軌跡長さ $l$ の線分 ${\rm AB}$ の両端 ${\rm A~,~B}$ がそれぞれ $x$ 軸上と $y$ 軸上を動くとき、線分 ${\rm AB}$ を $m\,:\,n$ に内分する点 ${\rm P}$ の軌跡の解法は、
① $x$ 軸上の点を ${\rm A}(s~,~0)$ 、$y$ 軸上の点を ${\rm B}(t~,~0)$ とする。
② 動点を ${\rm P}(x~,~y)$ とする。
③ 線分 ${\rm AB}$ の長さ $l$ より、$$~~~\sqrt{(0-s)^2+(t-0)^2}=l$$$$~~~~~~\Leftrightarrow~s^2+t^2=l^2$$④ 線分 ${\rm AB}$ を $m\,:\,n$ に内分する条件より、$$~~~~~~(x~,~y)$$$$~=\left(\frac{\,ns+m\cdot0 \,}{\,m+n \,}~,~\frac{\,n\cdot0+mt \,}{\,m+n \,}\right)$$⑤ ④の式を $s~,~t$ について式変形し、③の式に代入して軌跡を求める。

問題解説：楕円と軌跡

問題長さ $3$ の線分 ${\rm AB}$ の両端 ${\rm A~,~B}$ がそれぞれ $x$ 軸上と $y$ 軸上を動くとき、線分 ${\rm AB}$ を $1\,:\,2$ に内分する点 ${\rm P}$ の軌跡を求めよ。

$x$ 軸上の点を ${\rm A}(s~,~0)$ 、$y$ 軸上の点を ${\rm B}(t~,~0)$ として、動点である点 ${\rm P}$ を ${\rm P}(x~,~y)$ とする。
線分 ${\rm AB}$ の長さ $3$ より、$$~~~\sqrt{(0-s)^2+(t-0)^2}=3$$$$~~~~~~~\Leftrightarrow~s^2+t^2=9~~~\cdots~{\large ①}$$また、点 ${\rm P}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1\,:\,2$ に内分するので、$$~~~~~~(x~,~y)$$$$~=\left(\frac{\,2\cdot s+1\cdot0 \,}{\,1+2\,}~,~\frac{\,2\cdot0+1\cdot t \,}{\,1+2 \,}\right)$$それぞれ計算すると、$$~~~x=\frac{\,2s \,}{\,3 \,}~,~y=\frac{\, t\,}{\,3 \,}$$$s~,~t$ について式変形すると、$$~~~s=\frac{\,3 \,}{\,2 \,}x~,~t=3y$$これを①に代入すると、$$~~~\left(\frac{\,3 \,}{\,2 \,}x\right)^2+(3y)^2=9$$$$~~~~~~~~~~\frac{\,9 \,}{\,4 \,}x^2+9y^2=9$$両辺を $\div9$ すると、$$~~~\frac{\,9 \,}{\,4\cdot9 \,}x^2+\frac{\,9y^2\,}{\,9 \,}=\frac{\,9 \,}{\,9 \,}$$$$\hspace{34pt} \frac{\,x^2 \,}{\,4 \,}+y^2=1$$したがって、点 ${\rm P}$ の軌跡は、楕円 ${\large \frac{\,x^2 \,}{\,4 \,}}+y^2=1$ となる。