双曲線の方程式の決定

双曲線の方程式の決定の解法

問題解説：双曲線の方程式の決定

問題解説(1)

焦点が $(5~,~0)~,~(-5~,~0)$ であるので、焦点が $x$ 軸上にある双曲線となり、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1~~~\cdots~{\large ①}$$ ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、 $$~~~\sqrt{a^2+b^2}=5$$ $$~~~~~~a^2+b^2=25~~~\cdots~{\large ②}$$ また、２つの焦点の差が $2a$ となるので、 $$~~~2a=6$$ $$~~~~\,a=3~~~\cdots~{\large ③}$$ ②に代入すると、 $$~~~3^2+b^2=25$$ 移項して、計算すると、 $$~~~b^2=25-9$$ $$~~~b^2=16$$ $b\gt0$ より、 $$~~~b=4$$ よって、①に $a~,~b$ を代入すると、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,3^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,4^2 \,}=1$$ したがって、求める双曲線の方程式は、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,9 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,16 \,}=1$$ となる。

問題解説(2)

焦点が $(0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})$ であるので、焦点が $y$ 軸上にある双曲線となり、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=-1~~~\cdots~{\large ①}$$ ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、 $$~~~\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$$ $$~~~~~~a^2+b^2=5~~~\cdots~{\large ②}$$ 次に、漸近線が $y=\pm{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}x$ であるので、 $$~~~\frac{\,b \,}{\,a \,}=\frac{\,1 \,}{\, 2\,}$$ 両辺を $\times2a$ すると、 $$~~~2b=a~~~\cdots~{\large ③}$$ これより、$a=2b$ を②に代入すると、 $$~~~(2b)^2+b^2=5$$ $$~~~~~4b^2+b^2=5$$ $$~~~~~~~~~~~~~5b^2=5$$ 両辺を $\div5$ すると、 $$~~~b^2=1$$ $b\gt0$ より、 $$~~~b=1$$ また、③より、 $$~~~a=2\times1=2$$ よって、①に $a~,~b$ を代入すると、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,2^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,1^2 \,}=-1$$ したがって、求める双曲線の方程式は、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,4 \,}-y^2=-1$$ となる。

問題解説(3)

焦点が $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$ であるので、焦点が $x$ 軸上にある双曲線となり、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1~~~\cdots~{\large ①}$$ ただし、$a\gt0~,~b\gt0$、とおける。
焦点の条件より、 $$~~~\sqrt{a^2+b^2}=2$$ $$~~~~~~a^2+b^2=4~~~\cdots~{\large ②}$$ また、２本の漸近線は、 $$~~~y=\frac{\,b \,}{\,a \,}x~,~y=-\frac{\,b \,}{\,a \,}x$$ これらが直交するので、 $$~~~\frac{\,b \,}{\,a \,}\times\left(-\frac{\,b \,}{\,a \,}\right)=-1$$ $$\hspace{36pt} -\frac{\,b^2 \,}{\,a^2 \,}=-1$$ 両辺を $\times(-a^2)$ すると、 $$~~~b^2=a^2~~~\cdots~{\large ③}$$ これを②に代入すると、 $$~~~a^2+a^2=4$$ $$\hspace{20pt} 2a^2=4$$ 両辺を $\div2$ すると、 $$~~~a^2=2$$ $a\gt0$ より、 $$~~~a=\sqrt{2}$$ また、③に代入すると、 $$~~~b^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$$ $b\gt0$ より、 $$~~~b=\sqrt{2}$$ よって、①に $a~,~b$ を代入すると、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,\left(\sqrt{2}\right)^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,\left(\sqrt{2}\right)^2 \,}=1$$ したがって、求める双曲線の方程式は、 $$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,2 \,}=1$$ となる。

今回のまとめ

双曲線の方程式の決定について解説しました。まずは焦点よりどちらの双曲線の標準形となるかを判断し、焦点からのの距離の差や漸近線の条件を利用しましょう。

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