三角形の辺と角の大小関係

2018.10.182020.06.09

三角形の辺と角の大小関係
問題解説：三角形の辺と角の大小関係
今回のまとめ

三角形の辺と角の大小関係

Point：三角形の辺と角の大小関係【定理】
① 大きい辺に向かい合う角は、小さい辺に向かい合う角より大きい。
② 大きい角に向かい合う辺は、小さい角に向かい合う辺より大きい。

これらをまとめると、三角形の辺とそれに対する角の大小関係は一致します。
例えば、

$${\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm B}>{\small\angle}{\rm C}~\Leftrightarrow~a>b>c$$

問題解説：三角形の辺と角の大小関係

問題解説(1)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ について、次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ $a=8$ $,$ $b=6$ $,$ $c=3$ のとき、３つの角の大小を調べよ。

３つの辺の大小関係が $a>b>c$ であるので、三角形の辺と角の大小関係は一致することより、答えは$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm B}>{\small\angle}{\rm C}$$となります。

問題解説(2)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ について、次の問いに答えよ。
${\small (2)}$ $\angle{\rm A}=110^\circ$ $,$ $b=4$ $,$ $c=10$ のとき、３つの角の大小を調べよ。

$\angle{\rm A}=110^\circ$ で鈍角となるので、最大角となります。
また、$b<c$ であるので、三角形の辺と角の大小関係が一致することより、$$~~~{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$よって、答えは$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$となります。

問題解説(3)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ について、次の問いに答えよ。
${\small (3)}$ $\angle{\rm A}=80^\circ$ $,$ $\angle{\rm B}=30^\circ$ のとき、３つの辺の大小を調べよ。

$\angle{\rm A}=80^\circ$ $,$ $\angle{\rm B}=30^\circ$ より、三角形の内角の和の条件を用いると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm C}=180^\circ-(80^\circ+30^\circ)$$$$\hspace{ 27 pt}=180^\circ-110^\circ$$$$\hspace{ 27 pt}=70^\circ$$よって、角の大小関係は、$$~~~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$三角形の辺と角の大小関係は一致することより、答えは$$~~~a>c>b$$となります。