空間ベクトルの成分と式変形
が成り立ちます。
問題解説:空間ベクトルの成分と式変形
各ベクトルの成分は、 $$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~~~ \overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{d}=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)$$これより、$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=l\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+m\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+n\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l \\ -2l \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2m \\ 3m \\ m \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -n \\ 2n \\ -2n \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l+2m-n \\ -2l+3m+2n \\ m-2n \end{array}\right)$$よって、各成分は等しいので、$$~~~\begin{eqnarray} 5=l+2m-n~~~\cdots{\Large ①} \\ -3=-2l+3m+2n~~~\cdots{\Large ②} \\ 4=m-2n~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$①\(\times2\) より、$$\hspace{ 10 pt}10=2l+4m-2n$$①\(\times2\)+②より、$$\hspace{ 10 pt}10-3=2l+4m-2n-2l+3m+2n$$$$\hspace{ 34 pt}7=7m$$移項して、両辺を\(7\)で割ると、$$\hspace{ 10 pt} m=1~~~\cdots{\Large ④}$$これを、③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4=1-2n$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2n=1-4$$$$\hspace{ 10 pt}2n=-3$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}n=-\frac{3}{2}~~~\cdots{\Large ⑤}$$次に、④と⑤を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5=l+2\times1-\left(-\frac{3}{2}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}5=l+2+\frac{3}{2}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-l=2+\frac{3}{2}-5$$$$\hspace{ 10 pt}-l=\frac{4}{2}+\frac{3}{2}-\frac{10}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}-l=-\frac{3}{2}$$両辺に \(-1\) をかけて、$$\hspace{ 10 pt}l= \frac{3}{2}~~~\cdots{\Large ⑥}$$
④、⑤、⑥より、答えは、$$~~~\overrightarrow{d}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\frac{3}{2}\overrightarrow{c}$$となります。
今回のまとめ
空間ベクトルでもベクトルの相等が成り立ち、両辺の各成分は等しくなります。また、成分は縦書きで計算すると見やすく計算ミスが減るので活用しましょう。