空間ベクトルの内積②（成分利用）

成分を用いた空間ベクトルの内積の解法
問題解説：空間ベクトルの内積②（成分利用）
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

成分を用いた空間ベクトルの内積の解法

Point：空間ベクトルの内積（成分利用）２つのベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ について、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right) $$のとき、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ は、

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$$

となります。

Point：空間ベクトルのなす角

空間にある２つのベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ のなす角 $\theta$ を求める解法の手順は、
① 成分を用いた内積より、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ を求めます。
② $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ の大きさ $|\overrightarrow{a}|$ と $|\overrightarrow{b}|$ をそれぞれ求めます。
③ なす角 $\theta$ を用いて内積の式を作ります。$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$④ ①と②の値を代入して、$\cos{\theta}$ を求めて $\theta$ を求めます。

問題解説：空間ベクトルの内積②（成分利用）

問題解説(1)

問題次の２つのベクトルの内積となす角$\theta$ を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2~,~-1)~,~\overrightarrow{b}=(0~,~-1~,~1)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=2\cdot0+2\cdot(-1)+(-1)\cdot1$$$$~=0-2-1$$$$~=-3~~~\cdots{\Large ①}$$
また、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}$$$$~=\sqrt{4+4+1}$$$$~=\sqrt{9}$$$$~=3$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}$$$$~=\sqrt{0+1+1}$$$$~=\sqrt{2}$$
よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ としたとき $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=3\cdot\sqrt{2}\cdot\cos{\theta}$$$$~=3\sqrt{2}\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}3\sqrt{2}\cos{\theta}=-3$$両辺を $3\sqrt{2}$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$0^\circ≦\theta≦180^\circ$ の範囲で $\theta$ を求めると、$$~~~\theta=135^\circ$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~\theta=135^\circ$$となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~3~,~1)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=1\cdot(-2)+2\cdot3+3\cdot1$$$$~=-2+6+3$$$$~=7~~~\cdots{\Large ①}$$
また、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{1^2+2^2+3^2}$$$$~=\sqrt{1+4+9}$$$$~=\sqrt{14}$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}$$$$~=\sqrt{4+9+1}$$$$~=\sqrt{14}$$
よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ としたとき $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot\cos{\theta}$$$$~=14\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}14\cos{\theta}=7$$両辺を $14$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$0^\circ≦\theta≦180^\circ$ の範囲で $\theta$ を求めると、$$~~~\theta=60^\circ$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=7~,~\theta=60^\circ$$となります。