空間の位置ベクトル

空間の位置ベクトルの解法
問題解説：空間の位置ベクトル
今回のまとめ

空間の位置ベクトルの解法

Point：空間の内分点・外分点・重心空間において、${\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})$ とすると、
${\rm A}(\overrightarrow{a})$ と ${\rm B}(\overrightarrow{b})$ を結ぶ線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に内分する点 ${\rm P}(\overrightarrow{p})$ は、

$$\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$$

${\rm A}(\overrightarrow{a})$ と ${\rm B}(\overrightarrow{b})$ を結ぶ線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm Q}(\overrightarrow{q})$ は、

$$\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$$

３点 ${\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})$ を頂点とする $\triangle {\rm ABC}$ の重心 ${\rm G}(\overrightarrow{g})$ は、

$$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$$

問題解説：空間の位置ベクトル

問題解説(1)

問題空間上の３点 ${\rm A}(1~,~-2~,~0)$ $,$ ${\rm B}(2~,~3~,~1)$ $,$ ${\rm C}(-1~,~2~,~-2)$ と原点 ${\rm O}$ について、次のベクトルの成分を求めよ。
${\small (1)}$ 点 ${\rm S}$ が線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するとき、 $\overrightarrow{\rm OS}$ の成分

線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点となることより、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OS}=\frac{2\cdot\overrightarrow{\rm OA}+1\cdot\overrightarrow{\rm OB}}{1+2}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{2\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}}{3}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB})$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OS}=\frac{1}{3}\left\{ 2\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left\{ \left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 2+2 \\ -4+3 \\ 0+1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 4 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OS}=\left( \frac{4}{3}~,~-\frac{1}{3}~,~\frac{1}{3} \right)$$となります。

問題解説(2)

問題${\small (2)}$ 点 ${\rm T}$ が線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に外分するとき、 $\overrightarrow{\rm OT}$ の成分

線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に外分する点となることより、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OT}=\frac{2\cdot\overrightarrow{\rm OA}-1\cdot\overrightarrow{\rm OB}}{-1+2}$$$$\hspace{ 28 pt}=\frac{2\overrightarrow{\rm OA}- \overrightarrow{\rm OB}}{1}$$$$\hspace{ 28 pt}=2\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OB}$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OT}=2\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-2 \\ -4-3 \\ 0-1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 0 \\ -7 \\ -1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OT}=(0~,~-7~,~-1)$$となります。

問題解説(3)

問題${\small (3)}$ $\triangle {\rm ABC}$ の重心を ${\rm G}$ とするとき、 $\overrightarrow{\rm OG}$ の成分

$\triangle {\rm ABC}$ の重心 ${\rm G}$ より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OG}=\frac{\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}+ \overrightarrow{\rm OC}}{3}$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}+ \overrightarrow{\rm OC})$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~~~\overrightarrow{\rm OC}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OG}=\frac{1}{3}\left\{ \left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 1+2-1 \\ -2+3+2 \\ 0+1-2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OG}=\left( \frac{2}{3}~,~1~,~-\frac{1}{3} \right)$$となります。