- 数学Ⅰ｜数と式「共通部分を置き換える式の展開」の基本例題解説ページです。
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問題｜共通部分を置き換える式の展開
数と式 09\((a+b)(a+b-2)~,~\)\((x+y+3)(x+y-2)~,~\)\((x+y-2)(x-y-2)\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
共通部分を置き換える式の展開
Point：共通部分を置き換える式の展開
① 式の中の共通部分を \(A\) とおき、展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b)(a+b-2)\\[3pt]~~~&=&A(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2-2A\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-2(a+b)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-2a-2b\end{eqnarray}\)
置き換えを用いる式の展開は、
① 式の中の共通部分を \(A\) とおき、展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b)(a+b-2)\\[3pt]~~~&=&A(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2-2A\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-2(a+b)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-2a-2b\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜共通部分を置き換える式の展開
数と式 09
\((a+b)(a+b-2)~,~\)\((x+y+3)(x+y-2)~,~\)\((x+y-2)(x-y-2)\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\begin{eqnarray}~~~(a+b)(a+b-2)\end{eqnarray}\)
\(a+b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&A(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2-2A\end{eqnarray}\)
\(A=a+b\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-2(a+b)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-2a-2b\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x+y+3)(x+y-2)\end{eqnarray}\)
\(x+y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3)(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2+\{3+(-2)\}A+3 \cdot (-2)\\[3pt]~~~&=&A^2+A-6\end{eqnarray}\)
\(A=x+y\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^2+(x+y)-6\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2+x+y-6\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x+y-2)(x-y-2)\end{eqnarray}\)
そのままでは同じ部分が見えないが、順序を入れ替えると \(x-2\) が共通している。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x-2)+y\}\{(x-2)-y\}\end{eqnarray}\)
\(x-2=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+y)(A-y)\\[3pt]~~~&=&A^2-y^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2)^2-y^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2x \cdot (-2)+(-2)^2-y^2\\[3pt]~~~&=&x^2-4x+4-y^2\\[3pt]~~~&=&x^2-y^2-4x+4\end{eqnarray}\)
※ 答えは降べきの順も並べ替えておく。
