- 数学Ⅰ｜数と式「(a+b+c)²の展開」の基本例題解説ページです。
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問題｜(a+b+c)²の展開
数と式 10\((a+b+c)^2~,~\)\((x-2y+3z)^2\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
(a+b+c)²の展開
Point：(a+b+c)²の展開
① \(a+b=A\) とおき、展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b+c)^2\\[3pt]~~~&=&(A+c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2cA+c^2\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
※ 計算結果は公式として覚えておくとよい。
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\((a+b+c)^2\) の展開は、
① \(a+b=A\) とおき、展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b+c)^2\\[3pt]~~~&=&(A+c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2cA+c^2\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
※ 計算結果は公式として覚えておくとよい。
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜(a+b+c)²の展開
数と式 10
\((a+b+c)^2~,~\)\((x-2y+3z)^2\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\begin{eqnarray}~~(a+b+c)^2\end{eqnarray}\)
\(a+b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot c+c^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2cA+c^2\end{eqnarray}\)
\(A=a+b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2+2ca+2cb+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
よって、\(2ac\) ではなく \(2ca\) とする。
この結果は公式として覚えておくとよい。
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2y+3z)^2\end{eqnarray}\)
\(x-2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 3z+(3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+6zA+9z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2y)^2+6z(x-2y)+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+(-2y)^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2y+3z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-2y)^2+(3z)^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+2 \cdot (-2y) \cdot 3z+2 \cdot 3z \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
