- 数学Ⅰ｜数と式「順序や組合せを工夫する展開」の基本例題解説ページです。
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問題｜順序や組合せを工夫する展開
数と式 11\((x+1)^2(x-1)^2~,~\)\((x^2+9)(x+3)(x-3)~,~\)\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
順序や組合せを工夫する展開
Point：順序や組合せを工夫する展開
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2(x-1)^2\end{eqnarray}\)
全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+9)(x+3)(x-3)\end{eqnarray}\)
\((x+3)(x-3)\) を先に展開することで、
\(a^2-b^2\) の形にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+9)(x^2-9)
\\[3pt]~~~&=&x^4-81\end{eqnarray}\)
■ 展開の順序の工夫
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2(x-1)^2\end{eqnarray}\)
全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
■ 展開の組合せの工夫
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+9)(x+3)(x-3)\end{eqnarray}\)
\((x+3)(x-3)\) を先に展開することで、
\(a^2-b^2\) の形にする。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+9)(x^2-9)
\\[3pt]~~~&=&x^4-81\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜順序や組合せを工夫する展開
数と式 11
\((x+1)^2(x-1)^2~,~\)\((x^2+9)(x+3)(x-3)~,~\)\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) を展開する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\((x+1)^2\) と \((x-1)^2\) をそれぞれ先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-1)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-1)+(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-2x^2+1\) となる
\((x^2+9)(x+3)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、\(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2+9)(x+3)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-3^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+9)(x^2-9)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-9^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-81\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-81\) となる
\((x+1)(x+2)\) と \((x+3)(x+4)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x+4)\,\right\}\left\{\,(x+2)(x+3)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\end{eqnarray}\)
\(x^2+5x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+4)(A+6)
\\[3pt]~~~&=&A^2+10A+24\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+5x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 5x+(5x)^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+35x^2+50x+24\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2\cdot x^2 \cdot 5x+(5x)^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+10x^3+35x^2+50x+24\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\) となる
