- 数学Ⅰ｜数と式「展開した多項式の項の係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜展開した多項式の項の係数
数と式 14☆\((x+y+z)(2x-y+3z)(3x+2y-z)\) を展開したときの \(x^3\)、\(x^2y\)、\(xyz\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
展開した多項式の項の係数
Point：展開した多項式の項の係数
\((x+y+z)(2x-y+3z)(3x+2y-z)\)
※ そのまま展開すると計算が大変になる。
① 求めたい項について、それぞれのかっこから項の取り出し方を考える。
\(xyz\) の項は、
\(x\) を1つ、\(y\) を1つ、\(z\) を1つ
それぞれのかっこから取り出すので、
すべての組合せは、
\(x{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}(-z)=xyz\)
\(x{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}2y=6xyz\)
\(y{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}(-z)=-2xyz\)
\(y{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}3x=9xyz\)
\(z{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}2y=4xyz\)
\(z{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}3x=-3xyz\)
② 取り出した一項の和より、係数を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+6-2+9+4-3)xyz\\[3pt]~~~&=&15xyz\end{eqnarray}\)
展開した多項式の項の係数は、
\((x+y+z)(2x-y+3z)(3x+2y-z)\)
※ そのまま展開すると計算が大変になる。
① 求めたい項について、それぞれのかっこから項の取り出し方を考える。
\(xyz\) の項は、
\(x\) を1つ、\(y\) を1つ、\(z\) を1つ
それぞれのかっこから取り出すので、
すべての組合せは、
\(x{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}(-z)=xyz\)
\(x{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}2y=6xyz\)
\(y{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}(-z)=-2xyz\)
\(y{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}3x=9xyz\)
\(z{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}2y=4xyz\)
\(z{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}3x=-3xyz\)
② 取り出した一項の和より、係数を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+6-2+9+4-3)xyz\\[3pt]~~~&=&15xyz\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜展開した多項式の項の係数
数と式 14☆
\((x+y+z)(2x-y+3z)(3x+2y-z)\) を展開したときの \(x^3\)、\(x^2y\)、\(xyz\) の項の係数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\((x+y+z)(2x-y+3z)(3x+2y-z)\)
\(x^3\) の係数はそれぞれのかっこから \(x\) の項を取り出すので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}3x\\[3pt]~~~&=&6x^3\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(6\)
\(x^2y\) の係数は、
\(x\) の項を2つ、\(y\) の項を1つ取り出すので、その取り出し方は \(3\) 通りある
よって、それぞれの取り出し方は、
\(x{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}2y=4x^2y\)
\(x{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}3x=-3x^2y\)
\(y{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}3x=6x^2y\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(4-3+6)x^2y\\[3pt]~~~&=&7x^2y\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(7\)
\(xyz\) の係数は、
\(x\) の項を1つ、\(y\) の項を1つ、\(z\) の項を1つ取り出すので、その取り出し方は \(6\) 通りある
よって、それぞれの取り出し方は、
\(x{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}(-z)=xyz\)
\(x{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}2y=6xyz\)
\(y{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}(-z)=-2xyz\)
\(y{\, \small \times \,}3z{\, \small \times \,}3x=9xyz\)
\(z{\, \small \times \,}2x{\, \small \times \,}2y=4xyz\)
\(z{\, \small \times \,}(-y){\, \small \times \,}3x=-3xyz\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+6-2+9+4-3)xyz\\[3pt]~~~&=&15xyz\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(15\)
