- 数学Ⅰ｜数と式「共通部分を置き換える因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜共通部分を置き換える因数分解
数と式 18\((x+1)^2-4(x+1)+4~,~\)\(x^4-5x^2+4~,~\)\(a^4-81b^4\) を因数分解する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
共通部分を置き換える因数分解
Point：共通部分を置き換える因数分解
① 式の中の共通部分を \(A\) とおき、因数分解する。
\(x^4-5x^2+4\) より、\(x^2=A\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&A^2-5A+4\\[3pt]~~~&=&(A-1)(A-4)\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-1)(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
置き換えを用いる因数分解は、
① 式の中の共通部分を \(A\) とおき、因数分解する。
\(x^4-5x^2+4\) より、\(x^2=A\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&A^2-5A+4\\[3pt]~~~&=&(A-1)(A-4)\end{eqnarray}\)
② 置き換えた \(A\) を元に戻し、さらに因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-1)(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜共通部分を置き換える因数分解
数と式 18
\((x+1)^2-4(x+1)+4~,~\)\(x^4-5x^2+4~,~\)\(a^4-81b^4\) を因数分解する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x+1=A\) とおき、因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2-4(x+1)+4\\[3pt]~~~&=&A^2-4A+4\\[3pt]~~~&=&(A-2)^2\end{eqnarray}\)
\(A=x+1\) と元に戻し、かっこの中をさらに計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1-2)^2\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2\end{eqnarray}\)
\(x^2=A\) とおき、因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-5x^2+4\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-5x^2+4\\[3pt]~~~&=&A^2-5A+4\\[3pt]~~~&=&(A-1)(A-4)\end{eqnarray}\)
\(A=x^2\) と元に戻し、さらに因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-1)(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(a^2=A~,~\)\(9b^2=B\) とおき、因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a^4-81b^4\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2-(9b^2)^2\\[3pt]~~~~&=&A^2-B^2\\[3pt]~~~&=&(A+B)(A-B)\end{eqnarray}\)
\(A=a^2~,~\)\(B=9b^2\) と元に戻し、さらに因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+9b^2)(a^2-9b^2)\\[3pt]~~~&=&(a^2+9b^2)\left\{\,a^2-(3b)^2\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b)\end{eqnarray}\)
