- 数学Ⅰ｜数と式「x⁴とx²の複2次式の因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜x⁴とx²の複2次式の因数分解
数と式 23☆\(x^4-3x^2-4~,~\)\(x^4+x^2+1~,~\)\(4x^4-8x^2+1\) を因数分解する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
x⁴とx²の複2次式の因数分解
Point：x⁴とx²の複2次式の因数分解
① 全体を平方の差 \(a^2-b^2\) の形になるように、式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4+x^2+1\\[3pt]~~~&=&(x^4+2x^2+1)-x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)^2-x^2\end{eqnarray}\)
② 全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{eqnarray}\)
\(x^4\) と \(x^2\) の複2次式の因数分解は、\(x^2=A\) と置き換えても因数分解できない場合は、
① 全体を平方の差 \(a^2-b^2\) の形になるように、式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4+x^2+1\\[3pt]~~~&=&(x^4+2x^2+1)-x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)^2-x^2\end{eqnarray}\)
② 全体的な因数分解をし、かっこの中をさらに整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜x⁴とx²の複2次式の因数分解
数と式 23☆
\(x^4-3x^2-4~,~\)\(x^4+x^2+1~,~\)\(4x^4-8x^2+1\) を因数分解する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x^2=A\) とおくと、\(x^4=A^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-3x^2-4\\[3pt]~~~&=&A^2-3A-4\\[3pt]~~~&=&(A+1)(A-4)\end{eqnarray}\)
\(A\) を \(x^2\) に戻して、さらに因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+1)(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(x^4+x^2+1\) は、\(x^2=A\) とおいても \(A\) の式で因数分解できない。
よって、全体を \(a^2-b^2\) の形にするために、\(x^4+2x^2+1\) をつくり調整する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4+x^2+1\\[3pt]~~~&=&(x^4+2x^2+1)-x^2\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) を \(2x^2\) にしたいので、\(-x^2\) で調整する。
部分的な因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+1)^2-x^2\end{eqnarray}\)
全体的な因数分解として、\(a^2-b^2\) の因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(x^2+1)+x\,\right\}\left\{\,(x^2+1)-x\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{eqnarray}\)
\(4x^4-8x^2+1\) は、\(x^2=A\) とおいても \(A\) の式で因数分解できない。
よって、全体を \(a^2-b^2\) の形にするために、\(4x^4-4x^2+1\) をつくり調整する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4x^4-8x^2+1\\[3pt]~~~&=&(4x^4-4x^2+1)-4x^2\end{eqnarray}\)
※ \(-8x^2\) を \(-4x^2\) にしたいので、\(-8x^2=-4x^2-4x^2\) と分ける。
部分的な因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2x^2-1)^2-(2x)^2\end{eqnarray}\)
全体的な因数分解として、\(a^2-b^2\) の因数分解をすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{\,(2x^2-1)+2x\,\right\}\left\{\,(2x^2-1)-2x\,\right\}\\[3pt]~~~&=&(2x^2+2x-1)(2x^2-2x-1)\end{eqnarray}\)
