- 数学Ⅰ｜数と式「循環小数の小数第n位の数字」の基本例題解説ページです。
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問題｜循環小数の小数第n位の数字
数と式 25☆分数 \(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}\) を小数で表したとき、小数第100位の数字の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
循環小数の小数第n位の数字
Point：循環小数の小数第n位の数字
① 分数を循環小数で表す。
\(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}=0.123123\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}\)
② 小数部分の繰り返しの規則性から、小数第 \(n\) 位の数字を求める。
\(0.\dot{1}2\dot{3}\) より、3つの数字 \(1~,~2~,~3\) のループ
小数第100位は、
\(100=3{\, \small \times \,}33+1\)
これより、ループの中の最初の \(1\)
循環小数の小数第 \(n\) 位の数字は、
① 分数を循環小数で表す。
\(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}=0.123123\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}\)
② 小数部分の繰り返しの規則性から、小数第 \(n\) 位の数字を求める。
\(0.\dot{1}2\dot{3}\) より、3つの数字 \(1~,~2~,~3\) のループ
小数第100位は、
\(100=3{\, \small \times \,}33+1\)
これより、ループの中の最初の \(1\)
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詳しい解説｜循環小数の小数第n位の数字
数と式 25☆
分数 \(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}\) を小数で表したとき、小数第100位の数字の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}=41{\, \small \div \,}333\) より、
\(\begin{array}{rr}0.123\cdots\hspace{16pt}\\333~)~\overline{41\phantom{.}0\phantom{00000000}}\\\underline{-~)~33\phantom{.}3\phantom{00000}\hspace{14pt}}\\7\phantom{.}70\phantom{00000}\hspace{9pt}\\\underline{-~)~6\phantom{.}66\phantom{00000}}\hspace{9pt}\\1\phantom{.}040\phantom{000}\hspace{13pt}\\\underline{-~)~~~~999\phantom{000}\hspace{13pt}}\\410\phantom{0}\hspace{18pt}\\\underline{-~)~333\phantom{0}\hspace{18pt}}\\77\phantom{.}\hspace{20pt}\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}&=&0.123123\cdots\\[3pt]~~~&=&0.\dot{1}2\dot{3}\end{eqnarray}\)
ここで、小数部分は \(1~,~2~,~3\) の3つの数字の繰り返しであり、
小数第100位は、
\(100=3{\, \small \times \,}33+1\)
これより、\(33\) 回ループして、さらに \(1\) つ目となるので、その数字は \(1\) である
