- 数学Ⅰ｜数と式「3つの項の分母の有理化」の基本例題解説ページです。
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問題｜3つの項の分母の有理化
数と式 35☆\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
3つの項の分母の有理化
Point：3つの項の分母の有理化
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\)
① 分母を \((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と考えて、分母分子に \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) を掛ける。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
② さらに分母を有理化し、式を整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
3つの項の分母の有理化は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\)
① 分母を \((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と考えて、分母分子に \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) を掛ける。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
② さらに分母を有理化し、式を整理する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜3つの項の分母の有理化
数と式 35☆
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}\) の分母を有理化する計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\) と考えて、分母分子に \((1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,1+2\sqrt{2}+2-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
次に、分母の分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+2-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\) となる
