- 数学Ⅰ｜数と式「3つの文字の対称式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜3つの文字の対称式の値
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
3つの文字の対称式の値
3つの文字の対称式の値は、
基本対称式 \(x+y+z~,~xy+yz+zx~,~xyz\) を用いて、表すことができる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,xy+yz+zx\,}{\,xyz\,}\)
\(\begin{eqnarray}&&x^2+y^2+z^2\\[3pt]&=&(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2+y^2+z^2\) の式変形は、
展開の公式、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+y+z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+y^2+z^2\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜3つの文字の対称式の値
\(x+y+z=1~,~\)\(xy+yz+zx=-4~,~\)\(xyz=-4\) のとき、式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}~,~\)\(x^2+y^2+z^2\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x+y+z=1~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ xy+yz+zx=-4~~~\cdots {\small [\,2\,]} \\ xyz=-4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,yz+zx+xy\,}{\,xyz\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,xy+yz+zx\,}{\,xyz\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\,}{\,-4\,}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+y^2+z^2
\\[3pt]~~~&=&(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
\\[3pt]~~~&=&1^2-2 \cdot (-4)\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&1+8
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
