整数部分・小数部分と式の値

分母を有理化すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}-2\,}{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,\sqrt{5}+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,(\sqrt{5})^2-2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}+2\,}{\,5-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}+2\end{eqnarray}\)

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ここで、\(\sqrt{4} \lt \sqrt{5} \lt \sqrt{9}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2 &\lt& \sqrt{5} \lt 3
\\[3pt]~~~2+2 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 3+2
\\[3pt]~~~4 &\lt& \sqrt{5}+2 \lt 5\end{eqnarray}\)

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これより、整数部分は \(a=4\)

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小数部分の \(b\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(\sqrt{5}+2)-4
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}-2\end{eqnarray}\)

 
 

\(b^2+4b+4\) を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&b^2+4b+4
\\[3pt]~~~&=&(b+2)^2\end{eqnarray}\)

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\(b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sqrt{5}-2+2)^2
\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5})^2
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

 
 

\(a^2+4ab+4b^2\) を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&a^2+4ab+4b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+2b)^2\end{eqnarray}\)

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\(a=4~,~b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{4+2(\sqrt{5}-2)\}^2
\\[3pt]~~~&=&(4+2\sqrt{5}-4)^2
\\[3pt]~~~&=&(2\sqrt{5})^2
\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 5
\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)