- 数学Ⅰ｜数と式「二重根号の外し方」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜二重根号の外し方
数と式 41☆\(\sqrt{\,5+2\sqrt{\,6\,}\,}~,~\)\(\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}~,~\)\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\) の二重根号を外す計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
二重根号の外し方
Point：二重根号の外し方
① 二重根号 \(\sqrt{\,a\,}\) の中の平方根の係数を \(2\) とする。
\(\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}=\sqrt{\,16-2\sqrt{\,60\,}\,}\)
② \(a+b~,~ab\) となる \(2\) 数 \(a~,~b\) \((a \gt b)\) を見つけて、公式より二重根号を外す。
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{\,ab\,}\,}=\sqrt{\,a\,} \pm \sqrt{\,b\,}\)
\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\)
① 平方根の中の式の分母分子に \(2\) を掛ける。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(3+\sqrt{\,5\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
② 分子の二重根号を外す。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{\,5 \cdot 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
③ 分母を有理化する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
二重根号の外し方は、
① 二重根号 \(\sqrt{\,a\,}\) の中の平方根の係数を \(2\) とする。
\(\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}=\sqrt{\,16-2\sqrt{\,60\,}\,}\)
② \(a+b~,~ab\) となる \(2\) 数 \(a~,~b\) \((a \gt b)\) を見つけて、公式より二重根号を外す。
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{\,ab\,}\,}=\sqrt{\,a\,} \pm \sqrt{\,b\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(10+6)-2\sqrt{\,10 \cdot 6\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,10\,}-\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
■ 中の平方根の係数を \(2\) にできない場合
\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\)
① 平方根の中の式の分母分子に \(2\) を掛ける。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(3+\sqrt{\,5\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
② 分子の二重根号を外す。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{\,5 \cdot 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
③ 分母を有理化する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜二重根号の外し方
数と式 41☆
\(\sqrt{\,5+2\sqrt{\,6\,}\,}~,~\)\(\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}~,~\)\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\) の二重根号を外す計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\sqrt{\,5+2\sqrt{\,6\,}\,}\) について、
和が \(5\) 、積が \(6\) となる \(2\) 数は、
\(3+2=5~,~3 {\, \small \times \,} 2=6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,5+2\sqrt{\,6\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(3+2)+2\sqrt{\,3 {\, \small \times \,} 2\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,16-4\sqrt{\,15\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16-2 \cdot 2\sqrt{\,15\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16-2\sqrt{\,60\,}\,}\end{eqnarray}\)
和が \(16\) 、積が \(60\) となる \(2\) 数は、
\(10+6=16~,~10 {\, \small \times \,} 6=60\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,(10+6)-2\sqrt{\,10 {\, \small \times \,} 6\,}\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,10\,}-\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\) について、
中の平方根の係数が \(2\) となるように、中の式の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,3+\sqrt{\,5\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,(3+\sqrt{\,5\,}) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
ここで、分子の二重根号について、和が \(6\) 、積が \(5\) となる \(2\) 数は、
\(5+1=6~,~5 {\, \small \times \,} 1=5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{\,5 {\, \small \times \,} 1\,}\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}+1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,5\,}+1){\, \small \times \,}\sqrt{\,2\,}\,}{\,(\sqrt{\,2\,})^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
