- 数学Ⅰ｜数と式「連立不等式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜連立不等式の解
数と式 45連立不等式 \(\left\{\begin{array}{l}x+1{\small ~≧~}0 \\ 2x-1 \lt x+2\end{array}\right.\) や \(\left\{\begin{array}{l}x{\small ~≦~}2x-1 \\ 2x-5 \gt 7-x\end{array}\right.\) の解の求め方は？また、不等式 \(2x-3 \lt x \lt 4x+6\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
連立不等式の解
Point：連立不等式の解
① それぞれの1次不等式の解を求める。
② その解の範囲を数直線上に表す。
③ 2つの範囲の共通範囲が解となる。
\(x{\small ~≧~}-1\) かつ \(x \lt 3\) では、
共通範囲より、解は \(-1{\small ~≦~}x \lt 3\) となる
また、\(x{\small ~≧~}-1\) かつ \(x \gt 3\) では、
共通範囲より、解は \(x \gt 3\) となる
\(\begin{eqnarray}A \lt B \lt C~\Leftrightarrow ~ \left\{~\begin{array}{l}A \lt B \\ B \lt C\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
連立不等式の解の求め方は、
① それぞれの1次不等式の解を求める。
② その解の範囲を数直線上に表す。
③ 2つの範囲の共通範囲が解となる。
\(x{\small ~≧~}-1\) かつ \(x \lt 3\) では、
共通範囲より、解は \(-1{\small ~≦~}x \lt 3\) となる
また、\(x{\small ~≧~}-1\) かつ \(x \gt 3\) では、
共通範囲より、解は \(x \gt 3\) となる
■ \(A \lt B \lt C\) の連立不等式
\(\begin{eqnarray}A \lt B \lt C~\Leftrightarrow ~ \left\{~\begin{array}{l}A \lt B \\ B \lt C\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
このように、2つの1次不等式に分けて、連立不等式として計算できる。
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詳しい解説｜連立不等式の解
数と式 45
連立不等式 \(\left\{\begin{array}{l}x+1{\small ~≧~}0 \\ 2x-1 \lt x+2\end{array}\right.\) や \(\left\{\begin{array}{l}x{\small ~≦~}2x-1 \\ 2x-5 \gt 7-x\end{array}\right.\) の解の求め方は？また、不等式 \(2x-3 \lt x \lt 4x+6\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x+1{\small ~≧~}0~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ 2x-1 \lt x+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~x &{\small ~≧~}& -1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-1 &\lt& x+2\\[3pt]~~~2x-x &\lt& 2+1\\[3pt]~~~x &\lt& 3\end{eqnarray}\)
数直線上にすると、
したがって、共通範囲より、解は \(-1{\small ~≦~}x \lt 3\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x{\small ~≦~}2x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ 2x-5 \gt 7-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x &{\small ~≦~}& 2x-1\\[3pt]~~~x-2x &{\small ~≦~}& -1\\[3pt]~~~-x &{\small ~≦~}& -1\end{eqnarray}\)
両辺を \(-1\) で割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-x\,}{\,-1\,} &{\small ~≧~}& \displaystyle \frac{\,-1\,}{\,-1\,}\\[5pt]~~~x &{\small ~≧~}& 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-5 &\gt& 7-x\\[3pt]~~~2x+x &\gt& 7+5\\[3pt]~~~3x &\gt& 12\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,3\,} &\gt& \displaystyle \frac{\,12\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~x &\gt& 4\end{eqnarray}\)
数直線上にすると、
したがって、共通範囲より、解は \(x \gt 4\)
不等式 \(2x-3 \lt x \lt 4x+6\) を連立不等式にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}2x-3 \lt x~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ x \lt 4x+6~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-3 &\lt& x\\[3pt]~~~2x-x &\lt& 3\\[3pt]~~~x &\lt& 3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x &\lt& 4x+6\\[3pt]~~~x-4x &\lt& 6\\[3pt]~~~-3x &\lt& 6\end{eqnarray}\)
両辺を \(-3\) で割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-3x\,}{\,-3\,} &\gt& \displaystyle \frac{\,6\,}{\,-3\,}\\[5pt]~~~x &\gt& -2\end{eqnarray}\)
数直線上にすると、
したがって、共通範囲より、解は \(-2 \lt x \lt 3\)
