- 数学Ⅰ｜数と式「不等式の整数解の個数の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜不等式の整数解の個数の条件
数と式 48☆連立不等式 \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}x-1 {\small ~≧~}0\\x-k \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\) を満たす整数解がちょうど \(3\) 個存在するような定数 \(k\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
不等式の整数解の個数の条件
Point：不等式の整数解の個数の条件
① 与えられた文字を含む不等式を解く。
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}x-1 {\small ~≧~}0\\x-k \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≧~}1\) かつ \(x\lt k\)
② 不等式の解の範囲を数直線上に表す。
③ 整数解の個数の条件より、条件式をつくる。
※ このとき、範囲の両端を含むかを確認する。
\(1{\small ~≦~}x \lt k\) の範囲に整数解がちょうど \(3\) 個存在するとき、\(k\) は \(3\) と \(4\) の間にあればよい
\({\small [\,1\,]}~k=4\) のとき、
\(x \lt 4\) より \(4\) は含まれないので、整数解は
\(x=1~,~2~,~3\) の3個となり適する。
よって、\(k=4\) を含む（イコールあり）
\({\small [\,2\,]}~k=3\) のとき、
\(x \lt 3\) より \(3\) は含まれないので、整数解は
\(x=1~,~2\) の2個となり不適。
よって、\(k=3\) を含まない（イコールなし）
これより、\(k\) の値の範囲は \(3 \lt k{\small ~≦~}4\)
不等式の整数解の個数の条件は、
① 与えられた文字を含む不等式を解く。
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}x-1 {\small ~≧~}0\\x-k \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≧~}1\) かつ \(x\lt k\)
② 不等式の解の範囲を数直線上に表す。
③ 整数解の個数の条件より、条件式をつくる。
※ このとき、範囲の両端を含むかを確認する。
\(1{\small ~≦~}x \lt k\) の範囲に整数解がちょうど \(3\) 個存在するとき、\(k\) は \(3\) と \(4\) の間にあればよい
\({\small [\,1\,]}~k=4\) のとき、
\(x \lt 4\) より \(4\) は含まれないので、整数解は
\(x=1~,~2~,~3\) の3個となり適する。
よって、\(k=4\) を含む（イコールあり）
\({\small [\,2\,]}~k=3\) のとき、
\(x \lt 3\) より \(3\) は含まれないので、整数解は
\(x=1~,~2\) の2個となり不適。
よって、\(k=3\) を含まない（イコールなし）
これより、\(k\) の値の範囲は \(3 \lt k{\small ~≦~}4\)
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詳しい解説｜不等式の整数解の個数の条件
数と式 48☆
連立不等式 \(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}x-1 {\small ~≧~}0\\x-k \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\) を満たす整数解がちょうど \(3\) 個存在するような定数 \(k\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}x-1 {\small ~≧~}0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\x-k \lt 0~~~\hspace{2pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
それぞれの不等式を解くと、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&{\small ~≧~}&0\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-k&\lt&0\\[3pt]~~~x&\lt&k\end{eqnarray}\)
整数解がちょうど3個存在するためには、\(k\) が \(3\) と \(4\) の間にあればよいので、
ここで、\(k=4\) のとき、
\(4\) が含まれずに整数解が \(x=1~,~2~,~3\) の3個
\(k=3\) のとき、
\(3\) が含まれずに整数解が \(x=1~,~2\) の2個
したがって、\(3\) より大きく、\(4\) 以下であり
\(3 \lt k{\small ~≦~}4\)
