- 数学Ⅰ｜数と式「場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式
数と式 52☆方程式 \(|\,x-3\,|=2x+1\) 、不等式 \(|\,x-6\,|{\small ~≦~}3x\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式
Point：場合分けが必要な絶対値の方程式
\(|\,x-3\,|=2x+1\)
① 絶対値の中の正負で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(x-3=2x+1\)
\({\small [\,2\,]}~x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(-(x-3)=2x+1\)
② それぞれの場合での方程式の解を求める。
③ 求めた \(x\) の値が場合分けをした範囲を満たすか確認する。
※ 満たさないときは解でない。
右辺が定数ではなく \(x\) の式の場合は、
\(|\,x-3\,|=2x+1\)
① 絶対値の中の正負で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(x-3=2x+1\)
\({\small [\,2\,]}~x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(-(x-3)=2x+1\)
② それぞれの場合での方程式の解を求める。
③ 求めた \(x\) の値が場合分けをした範囲を満たすか確認する。
※ 満たさないときは解でない。
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Point：場合分けが必要な絶対値の不等式
\(|\,x-6\,|{\small ~≦~}3x\)
① 絶対値の中の正負で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~x-6{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}6\) のとき、
\(x-6{\small ~≦~}3x\)
\({\small [\,2\,]}~x-6 \lt 0\) すなわち \(x \lt 6\) のとき、
\(-(x-6){\small ~≦~}3x\)
② それぞれの場合での不等式の解を求め、場合分けをした範囲との共通範囲を求める。
③ それぞれの場合での \(x\) の範囲を合わせた範囲が解となる。
右辺が定数ではなく \(x\) の式の場合は、
\(|\,x-6\,|{\small ~≦~}3x\)
① 絶対値の中の正負で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}~x-6{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}6\) のとき、
\(x-6{\small ~≦~}3x\)
\({\small [\,2\,]}~x-6 \lt 0\) すなわち \(x \lt 6\) のとき、
\(-(x-6){\small ~≦~}3x\)
② それぞれの場合での不等式の解を求め、場合分けをした範囲との共通範囲を求める。
③ それぞれの場合での \(x\) の範囲を合わせた範囲が解となる。
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詳しい解説｜場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式
数と式 52☆
方程式 \(|\,x-3\,|=2x+1\) 、不等式 \(|\,x-6\,|{\small ~≦~}3x\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(|\,x-3\,|=2x+1\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=x-3\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-3&=&2x+1\\[3pt]~~~x-2x&=&1+3\\[3pt]~~~-x&=&4\\[3pt]~~~x&=&-4\end{eqnarray}\)
これは \(x{\small ~≧~}3\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(|\,x-3\,|=-(x-3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-3)&=&2x+1\\[3pt]~~~-x+3&=&2x+1\\[3pt]~~~-x-2x&=&1-3\\[3pt]~~~-3x&=&-2\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これは \(x \lt 3\) を満たす
したがって、解は \(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\(|\,x-6\,|{\small ~≦~}3x\) について、
\({\small [\,1\,]}~x-6{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}6\) のとき、
\(|\,x-6\,|=x-6\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-6&{\small ~≦~}&3x\\[3pt]~~~x-3x&{\small ~≦~}&6\\[3pt]~~~-2x&{\small ~≦~}&6\end{eqnarray}\)
\(-2\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,-2\,}\\[5pt]~~~x&{\small ~≧~}&-3\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}6\) との共通範囲は \(x{\small ~≧~}6\)
\({\small [\,2\,]}~x-6 \lt 0\) すなわち \(x \lt 6\) のとき、
\(|\,x-6\,|=-(x-6)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-(x-6)&{\small ~≦~}&3x\\[3pt]~~~-x+6&{\small ~≦~}&3x\\[3pt]~~~-x-3x&{\small ~≦~}&-6\\[3pt]~~~-4x&{\small ~≦~}&-6\end{eqnarray}\)
\(-4\) で両辺を割ると不等号の向きが逆になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-4x\,}{\,-4\,}&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,-6\,}{\,-4\,}\\[5pt]~~~x&{\small ~≧~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x \lt 6\) との共通範囲は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x \lt 6\)
したがって、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を合わせた範囲より、解は \(x{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
