- 数学Ⅰ｜数と式「複数の絶対値を含む方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜複数の絶対値を含む方程式
数と式 53☆\(|\,x\,|+|\,x-3\,|=3x\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
複数の絶対値を含む方程式
Point：複数の絶対値を含む方程式
\(|\,x\,|+|\,x-3\,|=3x\)
① ２つの絶対値の中の正負が変わる \(x\) の値をそれぞれ確認する。
\(|\,x\,|\) は、\(x=0\) の前後で変わる
\(|\,x-3\,|\) は、\(x=3\) の前後で変わる
② 数直線上に表し、場合分けの範囲を確認する。
これより、次の範囲で場合分けをする
\({\small [\,1\,]}~x\lt 0\) のとき、\(-x-(x-3)=3x\)
\({\small [\,2\,]}~0{\small ~≦~}x\lt 3\) のとき、\(x-(x-3)=3x\)
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}3\) のとき、\(x+(x-3)=3x\)
③ 場合分けをしたそれぞれの範囲で解を求める。
④ 求めた \(x\) の値が場合分けをした範囲を満たすか確認する。
※ 満たさないときは解でない。
複数の絶対値を含む方程式の解は、
\(|\,x\,|+|\,x-3\,|=3x\)
① ２つの絶対値の中の正負が変わる \(x\) の値をそれぞれ確認する。
\(|\,x\,|\) は、\(x=0\) の前後で変わる
\(|\,x-3\,|\) は、\(x=3\) の前後で変わる
② 数直線上に表し、場合分けの範囲を確認する。
これより、次の範囲で場合分けをする
\({\small [\,1\,]}~x\lt 0\) のとき、\(-x-(x-3)=3x\)
\({\small [\,2\,]}~0{\small ~≦~}x\lt 3\) のとき、\(x-(x-3)=3x\)
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}3\) のとき、\(x+(x-3)=3x\)
③ 場合分けをしたそれぞれの範囲で解を求める。
④ 求めた \(x\) の値が場合分けをした範囲を満たすか確認する。
※ 満たさないときは解でない。
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詳しい解説｜複数の絶対値を含む方程式
数と式 53☆
\(|\,x\,|+|\,x-3\,|=3x\) の解の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(|\,x\,|\) は \(x=0\) の前後で、
\(|\,x-3\,|\) は \(x=3\) の前後で、
絶対値の中の正負が変わることより、
\({\small [\,1\,]}~x\lt 0\) のとき、
\(|\,x\,|=-x~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-3\,|&=&3x\\[3pt]~~~-x-(x-3)&=&3x\\[3pt]~~~-x-x+3&=&3x\\[3pt]~~~-2x-3x&=&-3\\[3pt]~~~-5x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これは、\(x\lt 0\) を満たさないので不適
\({\small [\,2\,]}~0{\small ~≦~}x\lt 3\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-3\,|=-(x-3)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-3\,|&=&3x\\[3pt]~~~x-(x-3)&=&3x\\[3pt]~~~x-x+3&=&3x\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
これは、\(0{\small ~≦~}x\lt 3\) を満たす
\({\small [\,3\,]}~x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(|\,x\,|=x~,~|\,x-3\,|=x-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,x\,|+|\,x-3\,|&=&3x\\[3pt]~~~x+x-3&=&3x\\[3pt]~~~2x-3x&=&3\\[3pt]~~~-x&=&3\\[3pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
これは、\(x{\small ~≧~}3\) を満たさないので不適
したがって、解は \(x=1\) となる
