- 数学Ⅰ｜数と式「2つの不等式の解の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの不等式の解の条件
数と式 55☆2つの不等式 \(|\,2x-3\,| \lt 1\) …①と \(|\,x-1\,| \lt a\) …②をともに満たす \(x\) の値が存在するときの \(a\) の値の範囲の求め方は？また、①の解に②の解が含まれるときの \(a\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
2つの不等式の解の条件
Point：2つの不等式の解の条件
① 2つの絶対値を含む不等式の解をそれぞれ求める。
② \(x\) の値の存在条件と数直線より、条件の不等式を解く。
・ 2つの不等式をともに満たす \(x\) の値が存在するとき
※ 2つの範囲が重なる部分があればよい。
\(1 \lt a+1\) かつ \(-a+1 \lt 2\)
よって、\(a \gt 0\)
・一方の不等式の解の中にもう一方の不等式の解が含まれるとき
\(-a+1{\small ~≦~}1\) かつ \(2{\small ~≦~}a+1\)
※ ぴったり重なるときも含まれるので、イコールを付ける。
よって、\(a{\small ~≧~}1\)
2つの絶対値を含む不等式の解の条件は、
① 2つの絶対値を含む不等式の解をそれぞれ求める。
② \(x\) の値の存在条件と数直線より、条件の不等式を解く。
・ 2つの不等式をともに満たす \(x\) の値が存在するとき
※ 2つの範囲が重なる部分があればよい。
\(1 \lt a+1\) かつ \(-a+1 \lt 2\)
よって、\(a \gt 0\)
・一方の不等式の解の中にもう一方の不等式の解が含まれるとき
\(-a+1{\small ~≦~}1\) かつ \(2{\small ~≦~}a+1\)
※ ぴったり重なるときも含まれるので、イコールを付ける。
よって、\(a{\small ~≧~}1\)
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詳しい解説｜2つの不等式の解の条件
数と式 55☆
2つの不等式 \(|\,2x-3\,| \lt 1\) …①と \(|\,x-1\,| \lt a\) …②をともに満たす \(x\) の値が存在するときの \(a\) の値の範囲の求め方は？また、①の解に②の解が含まれるときの \(a\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜数と式
不等式①の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,2x-3\,| \lt 1
\\[3pt]~~~&&-1 \lt 2x-3 \lt 1
\\[3pt]~~~&&-1+3 \lt 2x \lt 1+3
\\[3pt]~~~&&2 \lt 2x \lt 4
\\[5pt]~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&&1 \lt x \lt 2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
不等式②の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,x-1\,| \lt a
\\[3pt]~~~&&-a \lt x-1 \lt a
\\[3pt]~~~&&-a+1 \lt x \lt a+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) をともに満たす \(x\) の値が存在するとき、
※ 2つの範囲が重なる部分があればよい。
\(1 \lt a+1\) かつ \(-a+1 \lt 2\) であればよい
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~1 &\lt& a+1
\\[3pt]~~~-a &\lt& 1-1
\\[3pt]~~~-a &\lt& 0
\\[3pt]~~~a &\gt& 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~-a+1 &\lt& 2
\\[3pt]~~~-a &\lt& 2-1
\\[3pt]~~~-a &\lt& 1
\\[3pt]~~~a &\gt& -1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a \gt 0\) かつ \(a \gt -1\) すなわち \(a \gt 0\) となる
次に、\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) が含まれるとき
\(-a+1{\small ~≦~}1\) かつ \(2{\small ~≦~}a+1\) であればよい
※ ぴったり重なるときも含まれるので、イコールを付ける。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~-a+1 &{\small ~≦~}& 1
\\[3pt]~~~-a &{\small ~≦~}& 1-1
\\[3pt]~~~-a &{\small ~≦~}& 0
\\[3pt]~~~a &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~2 &{\small ~≦~}& a+1
\\[3pt]~~~a &{\small ~≧~}& 2-1
\\[3pt]~~~a &{\small ~≧~}& 1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a{\small ~≧~}0\) かつ \(a{\small ~≧~}1\) すなわち \(a{\small ~≧~}1\) となる
