- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正弦を用いた三角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜正弦を用いた三角形の面積
図形と計量（三角比） 34\({\rm \triangle ABC}\) において、\(b=3~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求め方は？また、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm AD}=7~,~\)\({B}=45^\circ\) のとき、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
正弦を用いた三角形の面積
Point：正弦を用いた三角形の面積
2辺の長さ \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
正弦を用いた三角形の面積の公式は、
2辺の長さ \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
※ 他の角でも同様に成り立つ。
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詳しい解説｜正弦を用いた三角形の面積
図形と計量（三角比） 34\({\rm \triangle ABC}\) において、\(b=3~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求め方は？また、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm AD}=7~,~\)\({B}=45^\circ\) のとき、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(6\sqrt{3}\) となる
平行四辺形の対辺は等しいので、
\({\rm AD}={\rm BC}=7\)
よって、\({\rm \triangle ABC}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}7{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&7\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
平行四辺形は対角線で面積の等しい2つの三角形に分けられるので、
\({\rm \triangle ABC}={\rm \triangle ACD}=7\sqrt{2}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&7\sqrt{2}+7\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&=&14\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(14\sqrt{2}\) となる
