- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正n角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜正n角形の面積
図形と計量（三角比） 35☆半径 \(2\) の円に内接する正六角形、正八角形、正十二角形の面積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
正n角形の面積
Point：正n角形の面積
① 正六角形を \(6\) 個の合同な二等辺三角形に分けて、頂角を求める。
頂角は、\(\displaystyle \frac{\,360^\circ\,}{\,6\,}=60^\circ\)
② 頂角と円の半径より、二等辺三角形の面積を求めて、\(6\) 倍することで六角形の面積を求める。
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 60^\circ \right){\, \small \times \,}6\)
円に内接する正六角形の面積は、
① 正六角形を \(6\) 個の合同な二等辺三角形に分けて、頂角を求める。
頂角は、\(\displaystyle \frac{\,360^\circ\,}{\,6\,}=60^\circ\)
② 頂角と円の半径より、二等辺三角形の面積を求めて、\(6\) 倍することで六角形の面積を求める。
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 60^\circ \right){\, \small \times \,}6\)
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詳しい解説｜正n角形の面積
図形と計量（三角比） 35☆半径 \(2\) の円に内接する正六角形、正八角形、正十二角形の面積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
半径 \(2\) の円に内接する正六角形を \(6\) 個の二等辺三角形に分けると、
この二等辺三角形の頂角は、
\(\displaystyle \frac{\,360^\circ\,}{\,6\,}=60^\circ\)
よって、二等辺三角形 \(1\) 個分の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
正六角形はこれが \(6\) 個分あるので、
\(\sqrt{3}{\, \small \times \,}6=6\sqrt{3}\)
したがって、\(6\sqrt{3}\) となる
半径 \(2\) の円に内接する正八角形を \(8\) 個の二等辺三角形に分けると、
この二等辺三角形の頂角は、
\(\displaystyle \frac{\,360^\circ\,}{\,8\,}=45^\circ\)
よって、二等辺三角形 \(1\) 個分の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
正八角形はこれが \(8\) 個分あるので、
\(\sqrt{2}{\, \small \times \,}8=8\sqrt{2}\)
したがって、\(8\sqrt{2}\) となる
半径 \(2\) の円に内接する正十二角形を \(12\) 個の二等辺三角形に分けると、
この二等辺三角形の頂角は、
\(\displaystyle \frac{\,360^\circ\,}{\,12\,}=30^\circ\)
よって、二等辺三角形 \(1\) 個分の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
正十二角形はこれが \(12\) 個分あるので、
\(1{\, \small \times \,}12=12\)
したがって、\(12\) となる
