- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「3辺の長さと三角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜3辺の長さと三角形の面積
図形と計量（三角比） 36\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\(\cos {A}~,~\)\(\sin {A}\) の値を求めて、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求める方法は？また、この \({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) をヘロンの公式を用いて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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3辺の長さと三角形の面積
解法のPoint
3辺の長さと三角形の面積
Point：3辺の長さと三角形の面積3辺の長さ \(a~,~b~,~c\) と三角形の面積の求め方は、
① 3辺の長さ \(a~,~b~,~c\) より余弦定理を用いて、\(\cos {A}\) の値を求める。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 相互関係の公式より、\(\cos {A}\) の値から \(\sin {A}\) の値を求める。
\(\sin^2 {A}=1-\cos^2 {A}\)
※ \(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\)
③ 2辺の長さとその間の角の正弦（\(\sin\)）の値より、\({\rm \triangle ABC}\) の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
① 3辺の長さ \(a~,~b~,~c\) より余弦定理を用いて、\(\cos {A}\) の値を求める。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 相互関係の公式より、\(\cos {A}\) の値から \(\sin {A}\) の値を求める。
\(\sin^2 {A}=1-\cos^2 {A}\)
※ \(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\)
③ 2辺の長さとその間の角の正弦（\(\sin\)）の値より、\({\rm \triangle ABC}\) の面積を求める。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
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ヘロンの公式
Point：ヘロンの公式
① \(3\) 辺の長さの半分の値 \(s\) を求める。
\(s=\displaystyle \frac{\,a+b+c\,}{\,2\,}\)
② \(s\) の値を用いたヘロンの公式より、三角形の面積を求める。
\(S=\sqrt{\,s(s-a)(s-b)(s-c)\,}\)
\(3\) 辺の長さが与えられたときの三角形の面積は、
① \(3\) 辺の長さの半分の値 \(s\) を求める。
\(s=\displaystyle \frac{\,a+b+c\,}{\,2\,}\)
② \(s\) の値を用いたヘロンの公式より、三角形の面積を求める。
\(S=\sqrt{\,s(s-a)(s-b)(s-c)\,}\)
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詳しい解説｜3辺の長さと三角形の面積
図形と計量（三角比） 36\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\(\cos {A}~,~\)\(\sin {A}\) の値を求めて、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求める方法は？また、この \({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) をヘロンの公式を用いて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm \triangle ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~5^2&=&6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~84\cos {A}&=&36+49-25
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=6~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}~,~\)\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,7\,}~,~\)\(S=6\sqrt{6}\)
となる
この \(3\) 辺の長さの半分の値 \(s\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\displaystyle \frac{\,a+b+c\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+6+7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
これより、ヘロンの公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\sqrt{\,s(s-a)(s-b)(s-c)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,} \cdot \sqrt{\,4\,} \cdot \sqrt{\,6\,}
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 2\sqrt{6}
\\[3pt]~~~&=&6\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
したがって、面積は \(6\sqrt{6}\) となる
