このページは、「3辺の長さと三角形の面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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3辺の長さと三角形の面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=4~,~b=3~,~c=2\) のとき、この三角形の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.164 練習30
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~4^2&=&3^2+2^2-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~12\cos {A}&=&9+4-16
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=3~,~c=2\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(3\) 辺の長さが次のような \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~a=8~,~b=5~,~c=7\)
\({\small (2)}~a=13~,~b=14~,~c=15\)
\({\small (1)}~a=8~,~b=5~,~c=7\)
\({\small (2)}~a=13~,~b=14~,~c=15\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.157 練習30
\({\small (1)}~a=8~,~b=5~,~c=7\) のとき
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~8^2&=&5^2+7^2-2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~70\cos {A}&=&25+49-64
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,70\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-1\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,48\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=5~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,7\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&10\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=10\sqrt{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~a=13~,~b=14~,~c=15\) のとき
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~13^2&=&14^2+15^2-2 \cdot 14 \cdot 15 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~420\cos {A}&=&196+225-169
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,252\,}{\,420\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~13^2&=&14^2+15^2-2 \cdot 14 \cdot 15 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~420\cos {A}&=&196+225-169
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,252\,}{\,420\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=14~,~c=15\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 14 \cdot 15 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&84\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=84\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(3\) 辺の長さが \(a=7~,~b=4~,~c=5\) であるとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\cos {A}\) の値
\({\small (2)}~\sin {A}\) の値
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
\({\small (1)}~\cos {A}\) の値
\({\small (2)}~\sin {A}\) の値
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.161 練習30
\({\small (1)}~\cos {A}\) の値
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4^2+5^2-7^2\,}{\,2 \cdot 4 \cdot 5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16+25-49\,}{\,40\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8\,}{\,40\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\sin {A}\) の値
相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-1\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
2辺 \(b=4~,~c=5\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos {A}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}~,~\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,5\,}~,~S=4\sqrt{\,6\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(3\) 辺の長さが \(a=2~,~b=3~,~c=4\) である \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.161 練習31
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~2^2&=&3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~24\cos {A}&=&9+16-4
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,49\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-49\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,64\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,64\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=3~,~c=4\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(a=8~,~b=13~,~c=7\) である \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.160 問13
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~8^2&=&13^2+7^2-2 \cdot 13 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~182\cos {A}&=&169+49-64
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,154\,}{\,182\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~8^2&=&13^2+7^2-2 \cdot 13 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~182\cos {A}&=&169+49-64
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,154\,}{\,182\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,13\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,121\,}{\,169\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,169-121\,}{\,169\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,169\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,48\,}{\,169\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=13~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,13\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 13 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,3\,}\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&14\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=14\sqrt{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(\triangle {\rm ABC}\) において、その面積を \(S\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~a=3~,~b=\sqrt{\,2\,}~,~c=\sqrt{\,5\,}\) のとき、\(C~,~S\) を求めよ。
\({\small (2)}~c=\sqrt{\,2\,}~,~b=2~,~B=135^\circ\) のとき、\(C~,~a~,~S\) を求めよ。
\({\small (1)}~a=3~,~b=\sqrt{\,2\,}~,~c=\sqrt{\,5\,}\) のとき、\(C~,~S\) を求めよ。
\({\small (2)}~c=\sqrt{\,2\,}~,~b=2~,~B=135^\circ\) のとき、\(C~,~a~,~S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.166 問題 15
\({\small (1)}~a=3~,~b=\sqrt{\,2\,}~,~c=\sqrt{\,5\,}\) のとき
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm C}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2ab\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2+(\sqrt{\,2\,})^2-(\sqrt{\,5\,})^2\,}{\,2 \cdot 3 \cdot \sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+2-5\,}{\,6\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,6\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2+(\sqrt{\,2\,})^2-(\sqrt{\,5\,})^2\,}{\,2 \cdot 3 \cdot \sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+2-5\,}{\,6\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,6\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\cos {C}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点は、
（図）
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=45^\circ\)
次に、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(a=3~,~b=\sqrt{\,2\,}\) とその間の角 \({C}=45^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot a \cdot b \cdot \sin {C}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({C}=45^\circ~,~S=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~c=\sqrt{\,2\,}~,~b=2~,~B=135^\circ\) のとき
\(\angle {\rm B}\) と \(\angle {\rm C}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin 135^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sin {C}\,}\\[5pt]~~~2~\sin {C}&=&\sqrt{\,2\,} \cdot \sin 135^\circ\\[5pt]~~~2~\sin {C}&=&\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~2~\sin {C}&=&1\\[5pt]~~~\sin {C}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(B=135^\circ\) より \(C \lt 45^\circ\) となり、\({C}\) は鋭角なので、
\(\sin {C}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=30^\circ\)
次に、内角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}&=&180^\circ-({B}+{C})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(135^\circ+30^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-165^\circ\\[3pt]~~~&=&15^\circ\end{eqnarray}\)
ここで、\(\angle {\rm A}=15^\circ\) の \(\sin\) は用いず、\({B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~2^2&=&(\sqrt{\,2\,})^2+a^2-2 \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot a \cdot \cos 135^\circ\\[3pt]~~~4&=&2+a^2-2\sqrt{\,2\,}a \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)\\[5pt]~~~4&=&2+a^2+2a\\[3pt]~~~0&=&a^2+2a-2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,-2{\small ~±~}\sqrt{\,2^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2{\small ~±~}\sqrt{\,12\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2{\small ~±~}2\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-1{\small ~±~}\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\(a=\sqrt{\,3\,}-1\)
さらに、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(a=\sqrt{\,3\,}-1~,~c=\sqrt{\,2\,}\) とその間の角 \({B}=135^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot a \cdot c \cdot \sin {B}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (\sqrt{\,3\,}-1) \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot \sin 135^\circ\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (\sqrt{\,3\,}-1) \cdot \sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\({C}=30^\circ~,~a=\sqrt{\,3\,}-1~,~S=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=11~,~b=7~,~c=6\) のとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\cos {A}\) \({\small (2)}~\sin {A}\)
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
\({\small (1)}~\cos {A}\) \({\small (2)}~\sin {A}\)
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.158 問8
\({\small (1)}~\cos {A}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7^2+6^2-11^2\,}{\,2 \cdot 7 \cdot 6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49+36-121\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-36\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7^2+6^2-11^2\,}{\,2 \cdot 7 \cdot 6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49+36-121\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-36\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\sin {A}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-9\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,40\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,10\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
2辺 \(b=7~,~c=6\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,10\,}\,}{\,7\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,10\,}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{\,10\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos {A}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}~,~\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,10\,}\,}{\,7\,}~,~S=6\sqrt{\,10\,}\) となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08次の \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~a=3~,~c=8~,~B=120^\circ\)
\({\small (2)}~a=9~,~b=8~,~c=7\)
\({\small (1)}~a=3~,~c=8~,~B=120^\circ\)
\({\small (2)}~a=9~,~b=8~,~c=7\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.165 Training 14
\({\small (1)}~a=3~,~c=8~,~B=120^\circ\) のとき
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(a=3~,~c=8\) とその間の角 \({B}=120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot a \cdot c \cdot \sin {B}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=6\sqrt{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~a=9~,~b=8~,~c=7\) のとき
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8^2+7^2-9^2\,}{\,2 \cdot 8 \cdot 7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64+49-81\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8^2+7^2-9^2\,}{\,2 \cdot 8 \cdot 7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64+49-81\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,112\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-4\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,45\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,45\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=8~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,7\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&12\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=12\sqrt{\,5\,}\) となる
