- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角形の面積と角の二等分線の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の面積と角の二等分線の長さ
図形と計量（三角比） 37\({\rm \triangle ABC}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AC}=5~,~\)\({A}=60^\circ\) で \(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、線分 \({\rm AD}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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三角形の面積と角の二等分線の長さ
解法のPoint
三角形の面積と角の二等分線の長さ
Point：三角形の面積と角の二等分線の長さ\({\rm \triangle ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) の二等分線の長さ \({\rm AD}\) は、
① 二等分線 \({\rm AD}=x\) として、二等分線で分けられる2つの三角形 \({\rm \triangle ABD}\) の面積 \(S_1\) と \({\rm \triangle ADC}\) の面積 \(S_2\) を求める。
\(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) と間の角 \(\angle {\rm BAD}\)
\(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) と間の角 \(\angle {\rm DAC}\)
② 全体の \({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) を求め、\(S=S_1+S_2\) より、\(x\) の方程式を解く。
① 二等分線 \({\rm AD}=x\) として、二等分線で分けられる2つの三角形 \({\rm \triangle ABD}\) の面積 \(S_1\) と \({\rm \triangle ADC}\) の面積 \(S_2\) を求める。
\(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) と間の角 \(\angle {\rm BAD}\)
\(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) と間の角 \(\angle {\rm DAC}\)
② 全体の \({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) を求め、\(S=S_1+S_2\) より、\(x\) の方程式を解く。
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詳しい解説｜三角形の面積と角の二等分線の長さ
図形と計量（三角比） 37\({\rm \triangle ABC}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AC}=5~,~\)\({A}=60^\circ\) で \(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、線分 \({\rm AD}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm AD}=x\) とし、\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\({\rm \triangle ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ADC}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,15\sqrt{3}\,}{\,8\,}\) となる
