このページは、「三角形の面積と角の二等分線の長さ」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角形の面積と角の二等分線の長さ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}=5~,~{\rm AC}=3~,~A=120^\circ\) とし、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。線分 \({\rm AD}\) の長さを求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.164 練習31
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.167 補充問題 7
\({\rm AD}=x\) とし、\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=60^\circ\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ADC}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2\sqrt{\,3\,}x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,8\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}=8~,~{\rm AC}=4~,~A=120^\circ\) であるとする。\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm AD}\) の長さを求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.165 章末問題A 5
\({\rm AD}=x\) とし、\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=60^\circ\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ADC}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=120^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\sin 120^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}8{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&8\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\sqrt{\,3\,}x+\sqrt{\,3\,}x&=&8\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~3\sqrt{\,3\,}x&=&8\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\sqrt{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}=\sqrt{\,3\,}~,~{\rm AC}=2~,~A=60^\circ\) とし、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とする。このとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。 \({\small (2)}~{\rm AD}\) を求めよ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。 \({\small (2)}~{\rm AD}\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.166 問題 16
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\)
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(S=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~{\rm AD}\)
\({\rm AD}=x\) とし、\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ADC}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\end{eqnarray}\)
よって、\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+2\,}{\,4\,}x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,3\,}+2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,\sqrt{\,3\,}+2\,}\end{eqnarray}\)
分母を有理化して、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,(2+\sqrt{\,3\,})(2-\sqrt{\,3\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,4-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&12-6\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,4-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&12-6\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\({\rm AD}=12-6\sqrt{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\triangle {\rm ABC}\) において \({\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3~,~\angle {\rm BAC}=60^\circ\) である。\(\angle {\rm BAC}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とし、\({\rm AD}=x\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABD}~,~\triangle {\rm ACD}\) の面積をそれぞれ \(x\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~x\) を求めよ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABD}~,~\triangle {\rm ACD}\) の面積をそれぞれ \(x\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~x\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[002-902] p.167 Level Up 7
\({\small (1)}~\triangle {\rm ABD}~,~\triangle {\rm ACD}\) の面積
\(\angle {\rm BAD}=\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\triangle {\rm ABD}\) の面積 \(S_1\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AD}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAD}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&x\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ACD}\) の面積 \(S_2\) は、\(2\) 辺 \({\rm AD}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm DAC}=30^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm ABD}=x~,~\triangle {\rm ACD}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\) となる
\({\small (2)}~x\) を求める
\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、\(2\) 辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) とその間の角 \(\angle {\rm BAC}=60^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(S_1+S_2=S\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x&=&3\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x&=&3\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}x&=&3\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&3\sqrt{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,12\sqrt{\,3\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AD}=\displaystyle \frac{\,12\sqrt{\,3\,}\,}{\,7\,}\) となる
