- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角形の面積を用いた等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の面積を用いた等式の証明
図形と計量（三角比） 38☆\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) 、外接円の半径を \(R\) とするとき、\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) の証明方法は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さを \(a\) と \(b\) 、対角線のなす角を \(\theta\) とするとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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三角形の面積を用いた等式の証明
解法のPoint
三角形の面積を用いた等式の証明
Point：三角形の面積を用いた等式の証明三角形の面積 \(S\) を用いた等式の証明は、
2辺とその間の角の正弦の面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
また、外接円の半径 \(R\) は正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=2R\)
これらを用いて証明する。
2辺とその間の角の正弦の面積の公式より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
また、外接円の半径 \(R\) は正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=2R\)
これらを用いて証明する。
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詳しい解説｜三角形の面積を用いた等式の証明
図形と計量（三角比） 38☆\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) 、外接円の半径を \(R\) とするとき、\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) の証明方法は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さを \(a\) と \(b\) 、対角線のなす角を \(\theta\) とするとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
[証明] \(\angle {\rm A}\) と外接円の半径 \(R\) の正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,a\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
\(2\) 辺 \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) の三角形の面積 \(S\) より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) となる [終]
[証明] 対角線の交点を \({\rm E}\) とすると、
\({\rm AE}+{\rm EC}=a~,~\)\({\rm BE}+{\rm ED}=b\)
また、\(\angle {\rm AEB}=\theta\) より、
\(\angle {\rm DEC}=\theta~,~\)\(\angle {\rm AED}=\angle {\rm BEC}=180^\circ-\theta\)
これより、この四角形が対角線によって分けられる \(4\) つの三角形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle EAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AE} \cdot {\rm BE} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle EBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BE} \cdot {\rm EC} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BE} \cdot {\rm EC} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ECD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm EC} \cdot {\rm ED} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle EDA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm ED} \cdot {\rm EA} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm ED} \cdot {\rm EA} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
よって、この四角形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&{\rm \triangle EAB}+{\rm \triangle EBC}+{\rm \triangle ECD}+{\rm \triangle EDA}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AE} \cdot {\rm BE}+{\rm BE} \cdot {\rm EC}+{\rm EC} \cdot {\rm ED}+{\rm ED} \cdot {\rm EA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm BE}+({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm ED}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AE}+{\rm EC})({\rm BE}+{\rm ED})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AE} \cdot {\rm BE}+{\rm BE} \cdot {\rm EC}+{\rm EC} \cdot {\rm ED}+{\rm ED} \cdot {\rm EA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm BE}+({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm ED}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AE}+{\rm EC})({\rm BE}+{\rm ED})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\) となる [終]
