このページは、「三角形の面積を用いた等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角形の面積を用いた等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\)、外接円の半径を \(R\) とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~S=2R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}\)
\({\small (2)}~S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\)
\({\small (1)}~S=2R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}\)
\({\small (2)}~S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.172 演習問題A 5
\({\small (1)}~S=2R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}\) の証明
[証明] 正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\end{eqnarray}\)
よって、
\(a=2R\sin {A}~,~b=2R\sin {B}~,~c=2R\sin {C}\)
ここで、\(2\) 辺 \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) の三角形の面積 \(S\) より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
\(b=2R\sin {B}~,~c=2R\sin {C}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2R\sin {B} \cdot 2R\sin {C} \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}
\\[5pt]~~~&=&2R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(S=2R^2\sin {A}\sin {B}\sin {C}\) となる [終]
\({\small (2)}~S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) の証明
[証明] \(\angle {\rm A}\) と外接円の半径 \(R\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,a\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\) 辺 \(b~,~c\) とその間の角 \({A}\) の三角形の面積 \(S\) より、
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\)
\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) となる [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の図のように、\(3\) つの半直線とこれらに交わる直線があるとき、\({\rm OA}=a~,~\)\({\rm OB}=b~,~\)\({\rm OP}=p~,~\)\(\angle {\rm AOP}=\alpha~,~\)\(\angle {\rm BOP}=\beta\) とする。このとき、次の等式が成り立つことを、面積を考えて証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,\sin \alpha\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,\sin \beta\,}{\,a\,}=\displaystyle \frac{\,\sin (\alpha+\beta)\,}{\,p\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin \alpha\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,\sin \beta\,}{\,a\,}=\displaystyle \frac{\,\sin (\alpha+\beta)\,}{\,p\,}\)
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.173 演習問題B 8
[証明] \(3\) 点 \({\rm A}~,~{\rm P}~,~{\rm B}\) は一直線上にあるので、
\(\triangle {\rm OAB}=\triangle {\rm OAP}+\triangle {\rm OBP}\)
ここで、\(\triangle {\rm OAP}\) は \(2\) 辺 \({\rm OA}=a~,~{\rm OP}=p\) とその間の角 \(\angle {\rm AOP}=\alpha\) より、
\(\triangle {\rm OAP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ap\sin \alpha\)
また、\(\triangle {\rm OBP}\) は \(2\) 辺 \({\rm OB}=b~,~{\rm OP}=p\) とその間の角 \(\angle {\rm BOP}=\beta\) より、
\(\triangle {\rm OBP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bp\sin \beta\)
さらに、\(\triangle {\rm OAB}\) は \(2\) 辺 \({\rm OA}=a~,~{\rm OB}=b\) とその間の角 \(\angle {\rm AOB}=\alpha+\beta\) より、
\(\triangle {\rm OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin (\alpha+\beta)\)
これらを \(\triangle {\rm OAB}=\triangle {\rm OAP}+\triangle {\rm OBP}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin (\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ap\sin \alpha+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bp\sin \beta\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 倍すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ab\sin (\alpha+\beta)&=&ap\sin \alpha+bp\sin \beta\end{eqnarray}\)
両辺を \(abp\)（\(\gt 0\)）で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,ab\sin (\alpha+\beta)\,}{\,abp\,}&=&\displaystyle \frac{\,ap\sin \alpha\,}{\,abp\,}+\displaystyle \frac{\,bp\sin \beta\,}{\,abp\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin (\alpha+\beta)\,}{\,p\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sin \alpha\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,\sin \beta\,}{\,a\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin \alpha\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,\sin \beta\,}{\,a\,}=\displaystyle \frac{\,\sin (\alpha+\beta)\,}{\,p\,}\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求める公式
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}~,~\)\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ca\sin {B}~,~\)\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin {C}\)
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)（\(r\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円の半径）
から、次のものをすべて用いて \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求める公式を作り出せ。
\({\small (1)}~3\) 辺の長さ \(a~,~b~,~c\) と外接円の半径 \(R\)
\({\small (2)}~3\) つの角の大きさ \({A}~,~{B}~,~{C}\) の正弦と外接円の半径 \(R\)、内接円の半径 \(r\)
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}~,~\)\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ca\sin {B}~,~\)\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin {C}\)
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)（\(r\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円の半径）
から、次のものをすべて用いて \(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) を求める公式を作り出せ。
\({\small (1)}~3\) 辺の長さ \(a~,~b~,~c\) と外接円の半径 \(R\)
\({\small (2)}~3\) つの角の大きさ \({A}~,~{B}~,~{C}\) の正弦と外接円の半径 \(R\)、内接円の半径 \(r\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.164 問題 10
\({\small (1)}~3\) 辺の長さ \(a~,~b~,~c\) と外接円の半径 \(R\)
\(\angle {\rm A}\) と外接円の半径 \(R\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R
\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
これを 面積の公式 \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc\sin {A}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}bc \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) となる
\({\small (2)}~3\) つの角の正弦 \(\sin {A}~,~\sin {B}~,~\sin {C}\) と外接円の半径 \(R\)、内接円の半径 \(r\)
正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\end{eqnarray}\)
よって、
\(a=2R\sin {A}~,~b=2R\sin {B}~,~c=2R\sin {C}\)
これを 面積の公式 \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(2R\sin {A}+2R\sin {B}+2R\sin {C})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r \cdot 2R(\sin {A}+\sin {B}+\sin {C})
\\[5pt]~~~&=&Rr(\sin {A}+\sin {B}+\sin {C})\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=Rr(\sin {A}+\sin {B}+\sin {C})\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さを右の図のように \(l~,~m\) とし、そのなす角を \(\theta\) とする。このとき、四角形の面積 \(S\) は
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\)
と表されることを示せ。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\)
と表されることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.169 練習問題B 7
[証明] 対角線の交点を \({\rm E}\) とすると、
\({\rm AE}+{\rm EC}=l~,~{\rm BE}+{\rm ED}=m\)
また、\(\angle {\rm AEB}=\theta\) より、
\(\angle {\rm DEC}=\theta~,~\angle {\rm AED}=\angle {\rm BEC}=180^\circ-\theta\)
これより、この四角形が対角線によって分けられる \(4\) つの三角形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm EAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AE} \cdot {\rm BE} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm EBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BE} \cdot {\rm EC} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BE} \cdot {\rm EC} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ECD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm EC} \cdot {\rm ED} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm EDA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm ED} \cdot {\rm EA} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm ED} \cdot {\rm EA} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
よって、この四角形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\triangle {\rm EAB}+\triangle {\rm EBC}+\triangle {\rm ECD}+\triangle {\rm EDA}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AE} \cdot {\rm BE}+{\rm BE} \cdot {\rm EC}+{\rm EC} \cdot {\rm ED}+{\rm ED} \cdot {\rm EA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm BE}+({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm ED}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AE}+{\rm EC})({\rm BE}+{\rm ED})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AE} \cdot {\rm BE}+{\rm BE} \cdot {\rm EC}+{\rm EC} \cdot {\rm ED}+{\rm ED} \cdot {\rm EA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm BE}+({\rm AE}+{\rm EC}) \cdot {\rm ED}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AE}+{\rm EC})({\rm BE}+{\rm ED})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}lm\sin \theta\) となる [終]
